Построение графиков функций – асимптоты, исследование интервалов монотонности и точек локального экстремума, интервалов выпуклости и точек перегиба.

Асимптоты.

         а) Вертикальная асимптота. Если выполнено хотя бы одно из условий

то прямую  называют вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

         б) Асимптота (невертикальная асимптота). Прямую  называют асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функции  если

Если  то асимптоту называют наклонной, а если , то асимптоту  называют горизонтальной.

Аналогично вводится понятие асимптоты при .

Теорема 12. Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой графика функции y=f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Необходимость. Если прямая  y=kx+b  – асимптота графика функции  y=f(x) при , то выполняется условие

или равносильное ему условие

Разделив обе части последнего равенства на x, получим

откуда следует, что существует первый предел условия теоремы.

         Из последнего равенства получаем

, где

откуда следует, что существует второй предел условия теоремы.

Достаточность. Если существуют конечные пределы (из условия теоремы), то , где  т.е выполняется условие

Это означает, что прямая   – асимптота графика функции .

Замечание 6. Для случая горизонтальной асимптоты теорема 12 формулируется в следующем виде: для того чтобы прямая  была асимптотой графика функции  при  необходимо и достаточно, чтобы

 

Построение графиков функций.

1)    Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной), периодической.

2)    Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых  и .

3)    Найти асимптоты графика.

4)    Сделать эскиз графика.

5)    Вычислить , найти экстремумы и промежутки возрастания (убывания) функции.

6)    Вычислить  найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.

7)    Нарисовать график.