Кривая называется гладкой, если она является непрерывно дифференцируемой и не имеет особых точек. То есть кривая Г, заданная уравнением Г={ }, где , является гладкой, если функция (t) непрерывна и )≠0 при всех t.

Если )≠0, то существует касательная к кривой Г в точке , и уравнение этой касательной можно записать в виде +λ, λ∊R.

∘Пусть кривой Г, соответствующие значениям параметра и Уравнение секущей имеет вид +. Если заменить его пределом, то полученная прямая называется касательной к кривой Г в точке . Т.е. по определению.•

Если наряду с представлением кривой Г={ } через параметр t эта кривая представлена через параметр s уравнением Г={то должно выполняться условие: s=s(t) – непрерывная строго возрастающая функция на отрезке [α,β], причем s для всех t∊[α,β]. Такая замена параметра называется допустимой. Также в этом случае на отрезке [a,b] определена непрерывная и строго возрастающая функция t=t(s), обратная к функции s=s(t), и для всех s∊[a,b] выполняется равенство .

Для непрерывно дифференцируемой кривой Г в качестве допустимых преобразований параметра рассматриваются функции s(t), непрерывно дифференцируемые и такие, что s′(t)>0.

Пусть Г={ }. Систему точек τ= называют разбиением отрезка [α,β], если α=<<<…<=β. Соединив точки отрезками прямых (i=1, 2, …, ), получим так называемую вписанную ломаную (обозначим ее символом ), длина которой =Длина кривой называется . Кривая Г называется спрямляемой, если её длина конечна.

Пусть кривая Г={} непрерывно дифференцируема, и пусть s(t) – длина той части кривой Г, которая соответствует изменению параметра от α до t. Тогда для любого существует s′, причем s′=|.

Пусть кривая Г гладкая. Тогда функция (t) непрерывна и )≠0, и поэтому |>0. Из того, что =, следует >0 для всех t∊[α,β]. Поэтому непрерывно дифференцируемая функция s=s(t) является строго возрастающей. По теореме об обратной функции на отрезке [0,S], где S – длина кривой Г, определена функция t=t(s), причем t(s) – непрерывно дифференцируемая строго возрастающая функция и t′(s)=. Таким образом функция t=t(s) является допустимым преобразованием параметра, и уравнение кривой Г можно записать в виде . Если параметром кривой Г является переменная длина её дуги s, то s называют натуральным параметром, а уравнение кривой Г , 0≤s≤S, записанное через параметр s, называют натуральным уравнением.

Если параметром гладкой кривой Г является переменная длина её дуги s, то ||=1. Пусть Г – дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением Г={ }. Тогда существуют и причем – единичный вектор. Обозначим этот вектор как . Тогда =, , и поэтому вектор ортогонален вектору . Предположим, что ≠0, и обозначим k=|. Число k называют кривизной кривой в точке M∊Г (

Кривизна k дважды дифференцируемой кривой Г={ }, не имеющей особых точек, выражается формулой k=

∘Заметим, что, так как единичный, то k=. Применим то, что === и === и учитывая s′=|, получим формулу для k.•

Из формулы для k можно получить k=

Если Г – плоская кривая (z(t)=0), то k=

Если плоская кривая Г задана уравнением y=f(x), то k=

Комментарии