Единственность предела последовательности.

Т. Числовая последовательность может иметь только один предел.

Д. Пусть последовательность имеет 2 различных предела a и b, причем a<b. Выберем таким, что -окрестности точек a и b не пересекались. Возьмем например . Т.к. число a – предел последовательности , то по заданному можно найти номер N такой, что для всех . Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал может содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что b – предел последовательности. Значит не может быть двух пределов у последовательности.

Комментарии