Число е.

Рассмотрим последовательность , где , и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Используя формулу бинома Ньютона, получаем +, где . Запишем x_n в виде ; тогда . Все слагаемые в суммах (1) и (2) положительны, причём каждое слагаемое суммы (1) меньше соотв. слагаемого суммы (2), т.к. , а число слагаемых в сумме (2) на одно больше, чем в сумме (1). Поэтому для всех ,т.е. — строго возрастающая последовательность. Кроме того, учитывая, что из равенства (2) получаем . Т.к. при , то, используя формулу для суммы геом.прогрессии получаем . Следовательно, ,т.е — ограниченная последовательность. По теореме о пределе монотонной огран.последовательности, . Этот предел обозначается буквой e.

Комментарии