Пусть задана числовая функция . Тогда каждому соответствует единственное число . Нередко приходится по заданному значению функции находить соответствующее значение аргумента, т.е. решать относительно x уравнение

(8)

Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечно много решений. Решениями уравнения (8) являются абсциссы всех точек, в которых прямая пересекает график функции .

Т е о р е м а 7. Если функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает на отрезке [a,b], то на отрезке [f(a),f(b)] определена функция x=g(y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

○ Существование обратной функции. Обозначим A=f(a), B=f(b). Так как f – возрастающая функция, то для всех выполняется неравенство

, где , и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции .

Согласно определению обратной функции нужно доказать, что для каждого уравнение

(25)

имеет единственный корень , причем .

Существование хотя бы одного корня уравнения (25) следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение (25) имеет на отрезке [a,b] единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем уравнение (25) имеет еще один корень , где ; тогда .

Пусть, например, . Тогда в силу строгого возрастания функции f на отрезке [a,b] выполняется неравенство . С другой стороны,
. Отсюда следует, что неравенство не может выполняться. Следовательно, . Существование обратной функции доказано, т. е. на отрезке [А,B] определена функция x, обратная к f, причем и

. (26)

Монотонность обратной функции. Докажем, что g(y) — строго возрастающая на отрезке [A,B] функция, т. е.

(27)

Предположим противное; тогда условие (27) не выполняется, т. е.

(28)

Обозначим , тогда в силу (28) и
, согласно равенству (26).

Так как f — строго возрастающая функция, то из неравенства следует неравенство , т. е. , что невозможно, так как в силу (28). Таким образом, утверждение (28) не может выполняться, и поэтому — строго возрастающая функция.

Непрерывность обратной функции. Пусть — произвольная точка интервала (А, В). Докажем, что функция g непрерывна в точке . Для этого достаточно показать, что справедливы равенства

(29)

где — пределы функции g соответственно слева и справа в точке .

По теореме о пределах монотонной функции (§ 10) пределы функции слева и справа в точке существуют и выполняются неравенства

. (30)

Пусть хотя бы одно из равенств (29) не выполняется, например,

, тогда

(31)

Так как для всех выполняется неравенство , где (где ), а при всех справедливо неравенство , то из условия (31) следует, что интервал не принадлежит множеству значений функции g. Это противоречит тому, что все точки отрезка [a,b], в том числе и точки интервала , принадлежат множеству E(g). Итак, первое из равенств (29) доказано. Аналогично доказывается справедливость второго из равенств (29).

Тем же способом устанавливается, что функция непрерывна справа в точке А и непрерывна слева в точке В.

Комментарии