Дифференцирование сложной функции.

Теорема. Если функции и дифференцируемы соответственно в точках и , где , то сложная функция дифференцируема в точке , причём

Доказательство. Сложная функция непрерывна в точке , так как из дифференцируемости функций f и следует непрерывность этих функций соответственно в точках и . Поэтому функция определена в при некотором .

Из дифференцируемости функции f в точке следует, что существует такое, что для всех

где - непрерывная в точке функция, такая, что

Так как функция непрерывна в точке , то

:

Поэтому, подставляя в равенство вместо y, получим равенство

z=+

справедливое для всех . Но

где - непрерывная в точке функция такая, что

Из предпоследнего и предшествующего ему равенств следует, что

z(x)=

где - непрерывная в точке и такая, что

=

в силу и Из последних двух равенств следует, что существует и справедливо искомое равенство.

Комментарии