Ортогональное проектирование на подпространство.
Так
как
,каждый
вектор
однозначно
раскладывается в сумму векторов
и
.
Вектор
называется ортогональной проекцией x на
.
Тогда
–
ортогональная проекция x на
.
Найдем
ортогональную проекцию x
на
в
предположении ,что в
задан
некоторый ортогональный базис
.
Дополним этот базис до ортогонального в пространстве
,
присоединив к нему произвольный ортогональный базис
из
.
Так как сумма
и
прямая ,искомое разложение вектора x
единственно
и группируя слагаемые в формуле разложения вектора получаем
(18).
Если
k=1
,проекция
имеет вид
и
ясно,что правая часть формулы (18) – сумма проекций на
ортогональные одномерные подпространства ,натянутые на
.То
же означает и формула разложения вектора по базису ,а значит
равенство Парсеваля является обобщением теоремы Пифагора.
Из
следует ,что
=
.
Длина
ортогональной
проекции x
на
обладает
следующим свойством минимальности :
Пусть
–
ортогональная проекция x на
.
Тогда для любого вектора
,
отличного от x
выполняется
:
○ Обозначив
через
z
имеем
=
=
. Но
так
как
,и следовательно
,откуда
следует доказываемое утверждение.●
Сопряженные преобразования ,их свойства .
Линейное преобразование A* евклидова пространства называется сопряженным преобразованию A ,если для любых векторов x и y имеет место (A(x), y) = (x, A*(y)). (1)
Допустим
,что данное преобразование A
имеет
сопряженное А*. Выясним связь матриц преобразования А и А* в
некотором базисе е.
Обозначим
эти матрицы через А и А*, а координатные столбцы векторов x
и
y
через
и
.
Тогда равенство (1) можно переписать в координатной форме
,
где Г матрица Грама базиса е.
После
транспонирования :
,
т.е. левая и правая части (1) — билинейные функции , а
и
матрицы
этих функций в базисе е
. Если
значения функций равны при любых x
и
y
то
матрицы этих функций равны , т. е. :
(связь
между матрицами). В случае ОНБ имеем :
. (4)
Каждое линейное преобразование евклидова пространства имеет единственное сопряженное преобразование.
○Для
док-ва выберем ОНБ e
и
рассмотрим линейное преобразование В
,матрица которого в базисе
равна
.Подставим
В
вместо А* в определение (1) . Это приведет к равенству
,
т.е. В
является сопряженным для А. Если бы имелось два преобразования
,сопряженных одному и тому же А ,то в силу (4) они бы совпадали .●
Так
как
,
то из (4) выходит : (А*)* =А.
Для
любых двух преобразований А и В из
получаем
(АВ)* =В*А* .
Из формулы (4) также следует что характеристические многочлены А и А* совпадают. Следовательно собственные значения преобразований и их кратности одинаковы.
Геометрическое истолкование теоремы Фредгольма для системы Ах=bx из n уравнений с n неизвестными. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство и ОНБ в нем.
Каждый столбец будет координатным столбцом некторого вектора ,а матрица А – матрицей линейного перобразования А.
Система
совместна ,если существует такой вектор x
что
A(x)
= b , т.е.
b
принадлежит
множеству значений Im
A преобразования
A.
С
другой стороны сопряженная однородная системаравносильна
условию A*(y)
= o , т.е.
является системой уравнений для
Ker
A* .Тогда
теорема Фредгольма эквивалентна следующей утверждению :
тогда
и только тогда когда (b,y)
= o для
любого
,
т. е. приходим к такой ее формулировке :
Множество
значений преобразования А совпадает с ортогональным дополнением ядра
его сопряженного преобразования :
.
○=(x,o)=0.
Тогда
Сравнение
размерностей показывает,что пространства совпадают.●