Самосопряженные преобразования и свойства их собственных векторов и собственных значений.

Линейное преобразование А евклидова пространства называется самосопряженным , если

А=А*. Это равносильно тому,что (А(х),y)=(x,A(y)) для любых x и y . Из формулы следует ,что

Преобразование является самосопряженным тогда и только тогда ,когда его матрица в ОНБ симметрична.

Ограничение А' самосопряженного преобразования А на любом инвариантом подпространстве является самосопряженным. Собственный вектор ограничения является собственным и для преобразования. Это следует из соотв. определений и того,что

А'(х)=А(х) для тех векторов ,для которых определено А'.

Теорема 1: Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны.

◌Допустим ,что самосопряженное преобразование А имеет не вещественный корень характеристического многочлена. Тогда существует двумерное инвариантное подпространство , не содержащее собственных векторов А. Пусть А' – ограничение А на . Так как А ' самосопряженное преобр. , в ОНБ оно имеет симметрич. матрицу :

.

Характеристический многочлен этой матрицы имеет дискриминант , который преобразуется в . Тогда дискриминант неотрицателен ,характеристический многочлен имеет вещественный корень ,а преобразование А' – собственный вектор ,что противоречит выбору подпространства ●

Доказанное утверждение имеет матричную формулировку : если А – вещественная симметричная матрица ,то все корни вещественны.

Теорема 2: Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны. равносильна такому утверждению : Если собственные вектора самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным значениям, то они ортогональны.

◌Пусть и при. Тогда . Но иначе можно получить , откуда ,откуда (x,y)=0 ,чтд.●

Теорема 3 : Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного преобразования A ,то ортогональное дополнениеэтого подпространства – также инвариантно относительно A.

◌Дано ,что для каждого x из образ А(х) также лежит в . Поэтому (А(х),y)=0 для любого. Но для самосопряженного А это равносильно (х,А(у))=0 и следовательно чтд●

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О САМОСОПРЯЖЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

Теорема 4:Пусть А – самосопряженное преобразование евклидова пространства . Тогда в существует ОНБ из собственных векторов А.

◌Обозначим через L сумму собственных подпространств преобразования А и докажем ,что она совпадает с. Сумма собственных подпространств – инвариантное подпространство. Действительно ,если вектор х раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов ( принадлежащих каким бы то ни было собств. знач. ), то его образ раскладывается по ним же.

Из теоремы 3 следует ,что ортогональное дополнение L также инвариантно. Допустим ,что подпространство и рассмотрим ограничение A' преобразования А на . Это – самосопряженное преобразование и поэтому оно имеет вещественные характеристические числа и следовательно хоть один собственный вектор . Этот вектор собственный и для А и должен лежать в L . Так как он ненулевой , в он лежать не может. Полученное противоречие показывает ,что – нулевое подпространство и L совпадает с .

Поскольку сумма собственных подпространств – прямая сумма ,требуемый базис в можно выбрать как объединение ОНБ-сов собственных подпространств . Этот базис будет ОНБ ,так как векторы базиса ,лежащие в разных собственных подпространствах ортогональны по теореме 2. ● Эта теорема имеет матричную формулировку :

Если А – симметричная матрица ,то существует ортогональная матрица S такая,что – диагональная матрица.

Действительно матрица А задает самосопряженное преобразование в ОНБ. В качестве S можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису , построенному в теореме 4.

Для теоремы 4 справедлива обратная теорема :

Если существует ОНБ из собственных векторов лин. преобразования А евклидова пространства ,то А – самосопряженное.

Действительно , в таком базисе матрица преобразования диагональная ,а поэтому симметричная. А=А* .

Геометрич. характеристика самосопр. преобр. :

В n-мерном евклидовом пространстве обобщением аффинного преобразования плоскости ,состоящего в сжатии (растяжении )по двум взаимно перпендикулярным направлениям , будет сжатие по n попарно перпендикулярным направлениям. Выберем ОНБ так, чтобы его векторы имели данные направления . Тгда каждый базисный вектор перейдет в ему пропорциональный вектор , где – коэффициент сжатия. Тогда такое преобразования будет самосопряженным (по обр. ф-ке теор. 4 ) . Обратно ,самосопряженное преобразование с положительными собственными значениями является сжатием по N попарно перпендикулярным направлениям. Нулевому собственному значению соответствует уже не сжатие ,а проектирование , а отрицательному – произведение сжатия и симметрии.

Рассмотрим теперь нахождение базиса,существование которого доказано в теор. 4 . Выбрав некоторый базис, составим матрицу А преобразования . Находим корни его характеристического многочлена и для каждого корня-- базис в собственном подпространстве как ФСР системы . Для простых корней единственный вектор базиса следует пронормировать ,а для кратных корней полученный базис нужно ортогонализовать и нормировать.

Комментарии