Самосопряженные преобразования и свойства их собственных векторов и собственных значений.
Линейное преобразование А евклидова пространства называется самосопряженным , если
А=А*.
Это равносильно тому,что (А(х),y)=(x,A(y))
для любых x
и
y
. Из
формулы
следует
,что
Преобразование является самосопряженным тогда и только тогда ,когда его матрица в ОНБ симметрична.
Ограничение А' самосопряженного преобразования А на любом инвариантом подпространстве является самосопряженным. Собственный вектор ограничения является собственным и для преобразования. Это следует из соотв. определений и того,что
А'(х)=А(х) для тех векторов ,для которых определено А'.
Теорема 1: Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны.
◌Допустим
,что самосопряженное преобразование А имеет не вещественный корень
характеристического многочлена. Тогда существует двумерное
инвариантное подпространство
,
не содержащее собственных векторов А. Пусть А'
–
ограничение А на
.
Так как А '
самосопряженное
преобр. , в ОНБ оно имеет симметрич. матрицу :
.
Характеристический
многочлен этой матрицы
имеет
дискриминант
,
который преобразуется в
. Тогда дискриминант неотрицателен ,характеристический многочлен
имеет вещественный корень ,а преобразование А'
–
собственный вектор ,что противоречит выбору подпространства
●
Доказанное
утверждение имеет матричную формулировку : если
А – вещественная симметричная матрица ,то все корни
вещественны.
Теорема 2: Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны. равносильна такому утверждению : Если собственные вектора самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным значениям, то они ортогональны.
◌Пусть
и
при
.
Тогда
. Но иначе можно получить
, откуда
,откуда
(x,y)=0
,чтд.●
Теорема
3 :
Если подпространство
инвариантно
относительно самосопряженного преобразования A
,то
ортогональное дополнение
этого
подпространства – также инвариантно относительно A.
◌Дано
,что для каждого x
из
образ
А(х) также лежит в
.
Поэтому (А(х),y)=0
для любого
.
Но для самосопряженного А это равносильно (х,А(у))=0 и следовательно
чтд●
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О САМОСОПРЯЖЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
Теорема
4:Пусть
А – самосопряженное преобразование евклидова пространства
.
Тогда в
существует ОНБ из собственных векторов А.
◌Обозначим
через L
сумму
собственных подпространств преобразования А и докажем ,что она
совпадает с.
Сумма собственных подпространств – инвариантное
подпространство. Действительно ,если вектор х
раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (
принадлежащих каким бы то ни было собств. знач. ), то его образ
раскладывается по ним же.
Из
теоремы 3 следует ,что ортогональное дополнение L
также инвариантно. Допустим ,что подпространство
и
рассмотрим ограничение A'
преобразования
А на
. Это – самосопряженное преобразование и поэтому оно имеет
вещественные характеристические числа и следовательно хоть один
собственный вектор . Этот вектор собственный и для А и должен лежать
в L
. Так
как он ненулевой , в
он
лежать не может. Полученное противоречие показывает ,что
–
нулевое подпространство и L
совпадает
с
.
Поскольку
сумма собственных подпространств – прямая сумма ,требуемый
базис в
можно выбрать как объединение ОНБ-сов собственных подпространств .
Этот базис будет ОНБ ,так как векторы базиса ,лежащие в разных
собственных подпространствах ортогональны по теореме 2. ● Эта
теорема имеет матричную формулировку :
Если
А – симметричная матрица ,то существует ортогональная матрица S
такая,что
–
диагональная матрица.
Действительно матрица А задает самосопряженное преобразование в ОНБ. В качестве S можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису , построенному в теореме 4.
Для теоремы 4 справедлива обратная теорема :
Если существует ОНБ из собственных векторов лин. преобразования А евклидова пространства ,то А – самосопряженное.
Действительно , в таком базисе матрица преобразования диагональная ,а поэтому симметричная. А=А* .
Геометрич. характеристика самосопр. преобр. :
В
n-мерном
евклидовом пространстве обобщением аффинного преобразования плоскости
,состоящего в сжатии (растяжении )по двум взаимно перпендикулярным
направлениям , будет сжатие по n
попарно
перпендикулярным направлениям. Выберем ОНБ так, чтобы его векторы
имели данные направления . Тгда каждый базисный вектор
перейдет
в ему пропорциональный вектор
,
где
–
коэффициент сжатия. Тогда такое преобразования будет самосопряженным
(по обр. ф-ке теор. 4 ) . Обратно ,самосопряженное преобразование с
положительными собственными значениями является сжатием по N
попарно
перпендикулярным направлениям. Нулевому собственному значению
соответствует уже не сжатие ,а проектирование , а отрицательному –
произведение сжатия и симметрии.
Рассмотрим
теперь нахождение базиса,существование которого доказано в теор. 4 .
Выбрав некоторый базис, составим матрицу А преобразования . Находим
корни его характеристического многочлена
и
для каждого корня-- базис в собственном подпространстве как ФСР
системы
.
Для
простых корней единственный вектор базиса следует пронормировать ,а
для кратных корней полученный базис нужно ортогонализовать и
нормировать.