Метрическое пр-во. Св-ва открытых и замкнутых мн-в в метрическом пр-ве.
Мн-во X
— метрическое пр-во, если каждой паре
эл-тов х и у этого мн-ва поставлено в соответствие неотрицательное
число
(х,у),
называемое расстоянием между элементами х и у, такое, что для
x,y,
выполнены
след. усл-я:
1)(х,у)=0
х=у
2)(х,у)=
(у,х)
3).
Элементы метрического пр-ва называются точками,
-
метрика, (1)-(3) — аксиомы метрики. Метрика — функция,
определена на множестве пар точек метрического пр-ва.
Пр-во
.
Точками пр-ва
явл-ся
упорядоченные совокупности из n вещ-ных
чисел х=(
,...,
),
у=(
,...,
),
z=(
,...,
).
Расст-е
м/д точками х и у опр-ся ф-лой
(х,у)=
.
(1) и (2) аксиомы, очевидно, выполняются. (3) проверим, доказав
вспомогательные нер-ва.
Нер-во
Коши-Буняковского.
*
- для любых вещ-ных чисел
,
,...,
,
.
Д-во: Рассм. квадр. трехчлен Р(
)=
=A+2B*
+C*
,
где
А=
,
В=
,
C=
.
Трехчлен
неотрицателен
,
отсюда получаем искомое нер-во.
Нер-во
Минковского.
+
.
Д-во:
по нер-ву Коши
=
+2
+
меньше либо равно
+2
*
+
=
.
Извлекаем
из обеих частей корень, получаем искомое.
Полагая
=
-
,
=
-
,
получим
+
-
то есть нер-во треугольника для
(х,у)
в пр-ве
.
Шар
радиуса r
с
центром в т.а опр-ся как мн-во
={x:
,
}.
В
-
={x:
x=(
,...,
),
,
<
}.
Пусть
М — мн-во точек в метрическом пр-ве Х. Точка
-
внутренняя точка мн-ва М, если
,
т.е точка x
принадлежит
мн-ву М вместе с некоторым шаром с центром в этой точке. Совокупность
всех внутренних точек мн-ва М — его внутренность (int
M). М
- открытое мн-во в метрическом пр-ве Х, если все его точки —
внутренние, то есть int
M=M. Пустое
мн-во считать открытым по определению.
Теорема. Открытые мн-ва в метрическом пр-ве обл. след. св-вами: 1)все пр-во Х и пустое мн-во — открытые 2)объединение любого мн-ва открытых мн-в — открытое мн-во 3)пересечение конечного числа открытых мн-в — открытое мн-во.
Д-во:
(1) — очевидно. 2)Пусть G=,
где
-
открытые
мн-ва. Пусть точка
.
Тогда сущ-ет
такое,
что
.
Но
-
открытое, поэтому сущ-ет шар
, тем более,
.
Точка а — внутрення точка мн-ва G.
В
силу её произвольности, G
– открытое.
3)Пусть G=
,
где
-
открытое. Возьмем любую
точку
.
Тогда
,
i=
.
-
открытые
сущ-ют
шары
.
Пусть
=
.
тогда
,
i=
.
Поэтому
=G,
след-но
G
– открытое
мн-во.
Пусть
Х — метрическое пр-во. Окрестностью точки
будет наз-ся любое мн-во О(
),
для кот-ого
-
внутренняя. Точка
-
предельная точка мн-ва
,
если
в любой окр-ти этой точки есть точки мн-ва М, отличные от неё. Точка
мн-ва М, не явл. предельной — изолированная. Мн-во
-
замкнутое, если оно содержит все свои предельные точки. Мн-во, кот-ое
получается, если присоединить к мн-ву М все его предельные точки,
наз-ся замыканием М и обозн.
.
Теорема. Для того, чтобы мн-во F в метрическом пр-ве X было замкнутым, необх. и дост-но, чтобы его дополнение X\F было открытым.
Д-во:
1)[Необх-ть] Пусть мн-во
содержит все свои предельные точки. Если его дополнение G=
X\F – не
явл. открытым, то сущ-ет точка
,
не явл. внутренней точкой мн-ва G.
Тогда
в любой окр-ти О(а) есть точки, не принадл. G,
то
есть принадл. F
a
– предельная
точка мн-ва F.
F-
замкнуто
.
С другой стороны,
=X\F
и
след-но,
.
Противоречие док-ет, что все точки G=
X\F —
внутренние, то есть G
– открытое.
2)[Дост-ть]
Пусть
G=
X\F —
открыто. Пусть а — пред.точка F.
Предположим,
.
Тогда
,
а
мн-во G
— открыто,
то
,
но тогда
=
.
и
след-но, a
не
может быть пред.точкой F.
Поэтому мн-во F
содержит
в себе все свои пред.точки, то есть замкнуто.
Теорема.
Замкнутые мн-ва обл. след. св-вами: 1) X
и
-
замкнуты 2)пересечение любого мн-ва замкнутых мн-в — замкнутое
мн-во 3)объединение конечного числа замкнутых мн-в есть замкнутое
мн-во.
Д-во.
(1) — очевидно. 2) пусть F=,
-замкнутые.
В силу закона двойственности X\F=
\
.
В
силу предыдущей теоремы мн-ва Х\
открыты как дополнения замкнутых мн-в. Их объединение X\F
есть
открытое мн-во. В силу той же теоремы F
—
замкнуто. 3) Док-ся аналогично.