Суммы Дарбу и их свойства.
Пусть функция , определённая на отрезке
, ограничена на этом отрезке
и пусть
- разбиение
отрезка
,
(i=1,n). Обозначим
,
,
,
. (5)
Назовём и
соответственно верхней и нижней суммами Дарбу
для функции
при заданном
разбиении
отрезка
. Заметим, что эти суммы не
зависят от выборки
.
Рассмотрим свойства сумм Дарбу.
С в о й с т в о 1. Для любой
выборки справедливы
неравенства
.
(6)
○ Так как для любого , выполняются неравенства
то
Складывая эти неравенства, получаем
. (7)
Согласно определению сумм Дарбу и
интегральной суммы утверждения
(7) и (6) равносильны. ●
С в о й с т в о 2. Справедливы равенства
, (8)
.
(9)
○ Докажем утверждение (8). Согласно определению точной верхней грани нужно доказать, что выполняются следующие условия:
.
Первое из этих условий выполняется в силу (6). Докажем второе условие.
Так как , то по определению точной верхней грани
:
.
Умножая -е неравенство на и складывая все полученные
неравенства, находим
,
Где - выборка. Итак, утверждение (8) доказано.
Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9).●
Следующее свойство сумм Дарбу
связано с ещё одним понятием для разбиений. Назовём разбиение продолжением (измельчением)
разбиения
, если
каждая точка разбиения
является
точкой разбиения
.
Иначе говоря, Разбиение
либо
совпадает с разбиением
,
либо получено из
добавлением
по крайней мере одной новой точки.
С в о й с т в о 3. Если
разбиение -
продолжение разбиения
,
то
(10)
т.е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
○ Для доказательства
неравенств (10) достаточно рассмотреть случай, когда разбиение получается из разбиения
добавлением только одной точки
. пусть
и
- отрезки, на которые точка
разбивает отрезок
, а
и
- длины этих отрезков; тогда
. Обозначим
,
. Очевидно, что
,
.
В суммах и
равны все соответствующие слагаемые, за
исключением тех, которые связаны с отрезком
. Поэтому
+
,
где ,
. Следовательно,
+
, т.е.
.
Аналогично доказывается
неравенство . Отсюда,
используя неравенство
(см.(6)),
получаем цепочку неравенств (10). ●
С в о й с т в о 4. Для любых
разбиений и
справедливо неравенство
(11)
○ Пусть разбиение является продолжением как
разбиения
, так и
разбиения
(в качестве
можно взять
и добавить к нему те точки
разбиения
, которые
не входят в
).
Из неравенств (10) при ,
получаем
.
Полагая в (10) =
и
=
, находим
.
Объединяя полученные неравенства, имеем
,
Откуда следует неравенство (11).●
С в о й с т в о 5. Существуют числа
,
Удовлетворяющие для любых
разбиений и
отрезка
условию
(12)
Эти числа называют соответственно
нижним и верхним интегралами Дарбу от функции на отрезке
.
○ Из неравенства (11) по
теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует и
(супремум и инфимум по всевозможным разбиениям
отрезка
и для любых
разбиений
и
выполняется неравенство
(12).●
В заключение отметим, что
свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке функции.
Критерий интегрируемости функции.
Т е о р е м а 2. Для того, чтобы
функция , определённая
на отрезке
, была
интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была
ограничена и удовлетворяла условию
<
.
(13)
○ Н е о б х о д и м о с т
ь. Пусть функция интегрируема
на отрезке
. Тогда она
ограничена (теорема 1) и в силу определения интеграла
>0:
.
Таким образом, при каждом разбиении
отрезка
, мелкость которого удовлетворяет
условию
, неравенство
(14)
Выполняется при любой выборке . Поэтому из левого
неравенства (14) и равенства (9) следует, что
.
(15)
Аналогично из правого неравенства (14) и равенства (8) следует, что
.
(16)
Из неравенств (15), (6) и (16) получаем цепочку неравенств
,
откуда следует, что
.
Итак, интегрируемая на отрезке
функция удовлетворяет
условию (13).
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть
функция ограничена на
отрезке
и
удовлетворяет условию (13). Докажем, что функция
интегрируема на отрезке
, т.е.
>0:
. (17)
Воспользуемся свойством 5. Из неравенств (12) следует, что
,
откуда в силу (13) получаем неравенство
,
Справедливое для любого
разбиения такого, что
. Так как числа
и
не зависят от
, то отсюда следует, что
.
Обозначим
(18)
И докажем, что число есть интеграл от функции
на отрезке
.
Из (12) и (18) следует, что
, (19)
А из (19) и (6) в силу (13) получаем
.
Это означает, что функция интегрируема на отрезке
, а число
есть интеграл от
на
.●