Суммы Дарбу и их свойства.

Пусть функция , определённая на отрезке  , ограничена на этом отрезке и пусть  - разбиение отрезка ,   (i=1,n). Обозначим

, ,     

                       , .                    (5)

Назовём   и   соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции  при заданном разбиении   отрезка   . Заметим, что  эти суммы не зависят от выборки . Рассмотрим свойства сумм Дарбу.

С в о й с т в о  1. Для любой выборки    справедливы неравенства

.                                                     (6)

○ Так как для любого , выполняются неравенства

то

Складывая эти неравенства, получаем

          .                           (7)

Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы    утверждения (7) и (6) равносильны. ●

С в о й с т в о  2. Справедливы равенства

                 ,                            (8)

                .                              (9)

○ Докажем утверждение (8). Согласно определению точной верхней грани нужно доказать, что выполняются следующие условия:

.

Первое из этих условий выполняется в силу (6). Докажем второе условие.

Так как , то по определению точной верхней грани

:.

Умножая  -е неравенство на  и складывая все полученные неравенства, находим

,

Где  - выборка. Итак, утверждение (8) доказано. Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9).●

Следующее свойство сумм Дарбу связано с ещё одним понятием для разбиений. Назовём разбиение    продолжением (измельчением) разбиения   , если каждая точка разбиения    является точкой разбиения  . Иначе говоря, Разбиение   либо совпадает с разбиением  , либо получено из    добавлением по крайней мере одной новой точки.

С в о й с т в о  3. Если разбиение    -  продолжение разбиения  , то

                                                (10)

т.е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

○ Для доказательства неравенств (10) достаточно рассмотреть случай, когда разбиение    получается из разбиения    добавлением только одной точки   . пусть   и  - отрезки, на которые точка    разбивает отрезок   , а  и   - длины этих отрезков; тогда   . Обозначим  , . Очевидно, что   ,  .

В суммах  и   равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком   . Поэтому

+ ,

где   ,  . Следовательно,

+ , т.е.   .

Аналогично доказывается неравенство   . Отсюда, используя неравенство   (см.(6)), получаем цепочку неравенств (10). ●

С в о й с т в о  4. Для любых разбиений   и   справедливо неравенство

                                                                                                          (11)

○ Пусть разбиение    является продолжением как разбиения   , так и  разбиения   (в качестве   можно взять    и добавить к нему те точки разбиения    , которые не входят в   ).

Из неравенств (10) при   ,   получаем

.

Полагая в (10)   =   и  = , находим

 .

Объединяя полученные неравенства, имеем

  ,

Откуда следует неравенство (11).●

С в о й с т в о  5. Существуют числа

,

Удовлетворяющие для любых разбиений    и    отрезка    условию

                                                                                       (12)

Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции    на отрезке   .

○ Из неравенства (11) по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует    и    (супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка    и для любых разбиений    и    выполняется неравенство (12).●

В заключение отметим, что свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке    функции.

Критерий интегрируемости функции.

Т е о р е м а  2. Для того, чтобы функция   , определённая на отрезке   , была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условию

< .                                 (13)

○ Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть функция    интегрируема на отрезке   . Тогда она ограничена  (теорема 1) и в силу определения интеграла

>0:  .

Таким образом, при каждом разбиении    отрезка   , мелкость которого удовлетворяет условию   , неравенство

                                                                        (14)

Выполняется при любой выборке   . Поэтому из левого неравенства (14) и равенства (9) следует, что

.                                                                    (15)

Аналогично из правого неравенства (14) и равенства (8) следует, что

 .                                                                   (16)

Из неравенств (15), (6) и (16) получаем цепочку неравенств

 ,

откуда следует, что

 .

Итак, интегрируемая на отрезке функция    удовлетворяет условию (13).

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть функция   ограничена на отрезке    и удовлетворяет условию (13). Докажем, что функция    интегрируема на отрезке   , т.е.

>0:  .                          (17)

Воспользуемся свойством 5. Из неравенств (12) следует, что

 ,

откуда в силу (13) получаем неравенство

 ,

Справедливое для любого разбиения    такого, что   . Так как числа    и    не зависят от   , то отсюда следует, что

 .

Обозначим

                                                                                 (18)

И докажем, что число     есть интеграл от функции    на отрезке   .

Из (12) и (18) следует, что

,                                                                          (19)

А из (19) и (6) в силу (13) получаем

 .

Это означает, что функция   интегрируема на отрезке   , а число    есть интеграл от    на   .●