Т е о р е м а  3. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

○ Пусть функция f непрерывна на отрезке  . Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке, т.е.

>0: < .                (24)

Докажем, что для функции f выполняется условие

T:l(T)< .                                 (13)

Пусть T= – произвольное разбиение отрезка    такое, что его мелкость l(T)=max, где  . По теореме Вейерштрасса существуют точки    такие, что  , где  , . Поэтому из условия (24) следует, что  = , так как   . отсюда получаем

=.

Итак,

>0:– ,

И по теореме 2 функция f интегрируема на отрезке .●