Т е о р е м а 4. Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на этом отрезке.
○ Пусть,
например, функция f является возрастающей на отрезке ;
тогда для всех
выполняется
условие
,
и
поэтому функция f ограничена на отрезке .
Рассмотрим
произвольное разбиение отрезка
.
Тогда
,
где
=
.
Следовательно, получаем
=
,
откуда
-
,
так как
.
Отсюда
имеем, что при
.
По теореме 2 функция f интегрируема на отрезке
.●