№ 16 .Интегральная теорема о среднем.
Теорема . : Пусть функции f и g удовлетворяют следующим условиям :
f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b] ;
(20)
функция g не меняет знака на отрезке [a,b], т.е. либо
при
(21)
либо
при
Тогда
f(x)g(x)dx=
(22)
○ Пусть например, выполняется условие (21) . Тогда из неравенства (21) следует ,что
mg(x)
(23)
Так как функции f и g интегрируемы на [a,b], то функция f g также интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов
f(x)g(x)dx
(24)
Если
,
то из неравенств (24) следует ,что
и
поэтому неравенство (22) в этом случае выполняется при любом
.
Пусть
,
тогда
в
силу (21). Поэтому неравенство (24) равносильно следующему :
(25)
где
=
(26)
Из
(26) следует равенство (22), где
в
силу неравенства (25). Теорема доказана для случая ,когда
.
Эта теорема справедлива и когда
,
так как при замене g(x)
на
-g(x)
равенство
(22) сохраняется.●
Следствие(сама
интег. Теор.о среднем) : Если
функция f(x)
непрерывна
, а функция g(x)
интегрируема
на отрезке
и не меняет знака ,
то
f(x)g(x)dx=f(c)
(27)
В частности , если g(x) = 1 , то
f(x)dx=f(c)(b-a)(28)
○Пусть
,
M=
.
По
теореме Вейерштрасса
и
выполняется равенство (20). Если
–
число ,определяемое формулой (22), то
,
и
по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем
Поэтому формулу (22) можно записать в виде (27).●
Замечания : Если f(x)>0 то равенство (28) означает ,что площадь криволинейной трапеции над отрезком [a,b] равна площади прямоугольника с основанием длины
( b-a ) и высотой , равной значению , равной значению функции f в некоторой точке отрезка [a,b].