№ 17 Интеграл с переменным верхним пределом.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f интегрируема на [a,b], то для любого существует интеграл
(1)
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
а) Непрерывность интеграла.
Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то функция F(x) непрерывна на этом отрезке .
○Пусть и .Докажем,что
В силу свойств интеграла ,связанных с отрезками интегрирования
–(2)
Так как функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена , т.е.
(3)
Согласно правилу оценки интегралов из (2) и (3) следует ,что
откуда получаем : при, т.е. функция F непрерывна в точке x . Поскольку x — произвольная точка отрезка [a,b], то функция F непрерывна на [a,b].●
б) Дифференцируемость.
Если функция f интегрируема на отрезке [a,b] и непрерывна в точке ,
то функция дифференцируема в точке , причем
(4)
○
Пусть и; тогда при справедливо неравенство (2).
Докажем,что
при x->0(5)
Преобразуем , пользуясь тем,что .В силу свойств интеграла
f(t)dt–(f(t)-f())dt
откуда
(6)
По условию функция f непрерывна в точке , то есть для любого
существует число , такое что для всех выполняется неравенство
,(7)
где. Пусть ; тогда ,так как
, где l – отрезок с концами . Поэтому для всех , выполняется равенство (7).Но тогда из (6) следует ,что
Таким образом , для любого найдется такое,что для всех , удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство , то есть выполняется условие (5). Это значит что верно (4).●