№ 17 Интеграл с переменным верхним пределом.

Непрерывность и дифференцируемость интеграла.

Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f интегрируема на [a,b], то для любого существует интеграл

(1)

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

а) Непрерывность интеграла.

Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то функция F(x) непрерывна на этом отрезке .

○Пусть и .Докажем,что

В силу свойств интеграла ,связанных с отрезками интегрирования

–(2)

Так как функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена , т.е.

(3)

Согласно правилу оценки интегралов из (2) и (3) следует ,что

откуда получаем : при, т.е. функция F непрерывна в точке x . Поскольку x — произвольная точка отрезка [a,b], то функция F непрерывна на [a,b].●

б) Дифференцируемость.

Если функция f интегрируема на отрезке [a,b] и непрерывна в точке ,

то функция дифференцируема в точке , причем

(4)

○

Пусть и; тогда при справедливо неравенство (2).

Докажем,что

при x->0(5)

Преобразуем , пользуясь тем,что .В силу свойств интеграла

f(t)dt–(f(t)-f())dt

откуда

(6)

По условию функция f непрерывна в точке , то есть для любого

существует число , такое что для всех выполняется неравенство

,(7)

где. Пусть ; тогда ,так как

, где l – отрезок с концами . Поэтому для всех , выполняется равенство (7).Но тогда из (6) следует ,что

Таким образом , для любого найдется такое,что для всех , удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство , то есть выполняется условие (5). Это значит что верно (4).●

Комментарии