№ 18 .Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона Лейбница.

Существование первообразной для непрерывной функции.

Теорема . : Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , то она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для функции f является интеграл с переменным верхним пределом : и поэтому

f(t)dt+C(8), где С — произвольная константа.

○Пусть x – произвольная точка отрезка [a,b]. По теореме о дифференцируемости интеграла функция F(x) определяемая формулой (1) ,имеет в точке x производную равную f(x) ,т.е.

F'(x)=f(t)dt)=f(x) (9)

Согласно определению первообразной функция F(x) является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b] и поэтому справедливо равенство (8)●

Следствие : Из теоремы выше и теоремы из определения первообразной следует ,что всякая первообразная Ф(x) для функции f ,непрерывной на отрезке [a,b] , имеет вид

, (10),где С – постоянная.

Формула Ньютона Лейбница. (Основная формула интегрального исчисления)

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и если Ф(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) на этом отрезке ,то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

f(x)dx=Ф(b)–Ф(a) (11).

○Согласно следствию из теоремы о существовании первообразной существует число С такое ,что справедливо равенство (10). Подставляя в формулу (10) x=a и учитывая,что

получаем С=Ф(а) . Поэтому равенство (11) можно записать в виде

(12)

Равенство (12) выполняется при любых значениях ,и в частности при x=b , т.е.

откуда следует формула (11) ,так как величина определенного интеграла не зависит от того ,какой буквой обозначается независимое переменное в интеграле.●

Комментарии