1)     Метод замены переменного в определенном интеграле.

Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на интервале (, а функция  имеет непрерывную производную на интервале , причем  при всех .

Тогда если , , , , то справедлива формула замены переменного в определенном интеграле

 Так как , , а функция f(x) непрерывна на интервале , то по формуле Ньютона-Лейбница находим

=Ф(b)‑Ф(a)

Где  для всех .

            Функция  является первообразной для функции, стоящей под знаком интеграла в правой части формулы условия теоремы, так как

Применяя к функции  формулу Ньютона-Лейбница и учитывая, что =b, получаем
=Ф(b)‑Ф(a)

Из последнего и первого равенств доказательства следует формула замены переменного в определенном интеграле.

Замечание 5. При условиях теоремы 5 формула замены переменного в определенном интеграле справедлива как при , так и при

Формула замены переменного остается в силе и в случае, когда функции  f  и   заданы соответственно на отрезках  и , причем множество значений функции  содержится на отрезке , где . В этом случае под производными сложной функции  и концах отрезка  понимаются соответствующие односторонние производные.

            2)Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Терема 6. Если функции u(x) и v(x) имеют на отрезке  непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям

Интегрируя на отрезке  тождество

где   - непрерывные функции, получаем

По формуле Ньютона-Лейбница находим

Поэтому предпоследнее равенство можно записать в виде формулы интегрирования по частям.

Замечание 6. Учитывая, что v’dx=dv, u’dx=du, формулу иногда записывают в виде