Признак квадрируемости плоской фигуры.
Плоскую
фигуру G назовем
квадрируемой, если для любого найдутся
клеточные фигуры q и Q
такие,
что
где S(Q), S(q) – площади фигур Q и q соответственно.
Пусть плоская фигура G квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число S(G) такое, что
Для
любых клеточных фигур q
и
Q, удовлетворяющих
условию
Теорема 1. Для любой квадрируемой фигуры G число S(G) существует и единственно, причем
S(G)=supS(q)=inf S(Q)
Так как
для любых клеточных фигур q
и
Q, удовлетворяющих
условию
,
выполняется неравенство
то по теореме об отделимости(1 семестр) существуют supS(q) и inf S(Q) (супремум и инфинум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре G и содержащим эту фигуру), причем
S(q) S(Q),
S(
Откуда
Таким
образом, число S(G)=supS(q) удовлетворяет
условию
Докажем единственность числа S(G). Предположим. Что наряду с числом S(G) существует еще одно число S’(G), удовлетворяющее этому условию, т.е.
Тогда
из последнего неравенства и условия в силу
свойств неравенств получаем, что
|S(G)-S'(G)|S(Q)- S(q)
для
любых клеточных фигур таких, что . Так
как G –квадрируемая
фигура, то разность
можно
сделать сколь угодно малой в силу условия
,
выбрав соответствующие фигуры Q
и
q. Поэтому
из последнего неравенства следует, что
Таким
образом, квадрируемая фигура G
имеет
площадь S(G), причем
в силу S(q)
S(Q), справедливо
S(G)=
Теорема
2. Для того чтобы плоская фигура G была
квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовали
такие квадрируемые плоские фигуры
что
где и
-
площади фигур Q и q
соответственно.
Необходимость
условия теоремы очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти
условия выполняются, если взять
,
, где Q
и
q –
клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям
Докажем
достаточность. Фиксируя произвольное число ,
найдем в силу
такие
квадрируемые плоские фигуры
и
, что
Так как
и
- квадрируемые плоские фигуры,
то существуют клеточные фигуры Q’ и q’ такие.
Что
Из двух последних серий неравенств следует, что
Это означает, что G – квадрируемая фигура, причем
Замечание 2. Можно доказать, что площадь квадрируемой фигуры обладает свойством аддитивности, инвариантности и монотонности.