Сказать "Спасибо"

Помочь проекту

Признак квадрируемости плоской фигуры.

Плоскую фигуру G назовем квадрируемой, если для любого найдутся клеточные фигуры q и Q такие, что

где S(Q), S(q) – площади фигур Q и q соответственно.

Пусть плоская фигура G квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число S(G) такое, что

Для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию

Теорема 1. Для любой квадрируемой фигуры G число S(G) существует и единственно, причем

S(G)=supS(q)=inf S(Q)

Так как для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

то по теореме об отделимости(1 семестр) существуют supS(q) и inf S(Q) (супремум и инфинум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре G и содержащим эту фигуру), причем

S(q) S(Q),

Откуда

Таким образом, число S(G)=supS(q) удовлетворяет условию

Докажем единственность числа S(G). Предположим. Что наряду с числом S(G) существует еще одно число S’(G), удовлетворяющее этому условию, т.е.

Тогда из последнего неравенства и условия в силу свойств неравенств получаем, что

|S(G)-S'(G)|S(Q)- S(q)

для любых клеточных фигур таких, что . Так как G –квадрируемая фигура, то разность можно сделать сколь угодно малой в силу условия

, выбрав соответствующие фигуры Q и q. Поэтому из последнего неравенства следует, что Таким образом, квадрируемая фигура G имеет площадь S(G), причем в силу S(q) S(Q), справедливо

S(G)=

Теорема 2. Для того чтобы плоская фигура G была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовали такие квадрируемые плоские фигуры что

где и - площади фигур Q и q соответственно.

Необходимость условия теоремы очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять , , где Q и q – клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям