Площадь криволинейного сектора.
Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением
где - неотрицательная и непрерывная на отрезке функция. Тогда плоскую фигуру G, ограниченную кривой Г и, быть может, отрезками двух лучей, составляющих с полярной осью углы и (рис 3), назовем криволинейным сектором.
Утверждение 2. Криволинейный сектор G – квадрируемая фигура, площадь которой S выражается формулой
Пусть – разбиение отрезка , и - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке Обозначим через и круговые секторы, ограниченные лучами и дугами окружностей радиусов и соответственно. Если q – объединение фигур а Q – объединение фигур то
Так как и - квадрируемые фигуры, то q и Q также являются квадрируемымыми фигурами, а их площади соответственно равны
и
Отсюда следует, S(q) и S(Q) совпадают соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу для функции на отрезке . Поэтому:
supS(q)=infS(Q)=
Это означает, что G – квадрируемая фигура, а ее площадь S выражается формулой, приведенной в Утверждении 2.