Площадь криволинейного сектора.
Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением
где - неотрицательная и непрерывная на отрезке
функция. Тогда плоскую фигуру G,
ограниченную кривой Г и, быть может, отрезками двух лучей, составляющих с
полярной осью углы
и
(рис 3), назовем криволинейным
сектором.
Утверждение 2. Криволинейный сектор G – квадрируемая фигура, площадь которой S выражается формулой
Пусть
– разбиение отрезка
,
и
- соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции
на отрезке
Обозначим через
и
круговые секторы, ограниченные лучами
и дугами окружностей радиусов
и
соответственно. Если q – объединение
фигур
а Q
–
объединение фигур
то
Так
как и
- квадрируемые фигуры, то q
и
Q также
являются квадрируемымыми фигурами, а их площади соответственно равны
и
Отсюда
следует, S(q) и S(Q) совпадают
соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу для функции на отрезке
. Поэтому:
supS(q)=infS(Q)=
Это
означает, что G – квадрируемая
фигура, а ее площадь S
выражается
формулой, приведенной в Утверждении 2.