Вычисление площади криволинейной трапеции и длины дуги с помощью определенного интеграла.
Криволинейная трапеция —
фигура G, задаваемая на плоскости Oxy
условиями G={(x,y): ax
b,
0
y
f(x)},
где f(x) — непрерывная на
отрезке [a;b] ф-ция.
Утверждение 1.
Криволинейная трапеция G —
квадрируемая фигура, площадь которой S=S(G)
выражается формулой S=f(x)dx.
(1)
Док-во: Пусть T={,
i=
}
- разбиение отрезка [a;b],
и
-
соответственно наибольшее и наименьшее значения f
на
=[
;
],
=
-
,
i=
.1)
Рассмотрим
клеточную фигуру q,
составленную из
прямоугольников
(i=
),
таких, что длина
основания i-го
прямоугольника равна
,
а высота
.
Аналогично опр-ся фигура Q,
составленная из фигур
,
где
-
прямоугольник с параметрами
и
,
i=
.
Очевидно, что q
G
Q,
площади фигур q
и Q
соотв. равны S(q)=
, S(Q)=
.
Заметим, что S(q)=
,
S(Q)=
(2),
где
и
-
соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для ф-ции f
при разбиении T
отрезка [a;b].
2)f(x)
непр. на [a;b]
(в
силу критерия интегрируемости)
>0
найдется такое
разбиение Т, что 0
-
<
.
Иными словами, сущ-ют клеточные фигуры Q
и q
такие, что q
G
Q,
0
S(Q)-S(q)
<
,
т.е. G –
удовлетворяет усл-ям
квадрируемости и потому в силу (2) справедливо рав-во
S(G)=sup
=inf
(3).
Используя следствие
из критерия интегрируемости ф-ции, получаем sup
=inf
=
f(x)dx
(4). Из (3) и (4)
следут, что S=S(G)
выражается ф-лой (1).
Утверждение
2. Если кривая Г, заданная ур-ем Г={r=r(t),
}
непрерывно
дифференцируема, то её длина S
выражается ф-лой: S=
.
Док-во:
В первом семестре было док-но, что непрерывно дифференцируемая кривая
Г спрямляема (имеет длину), а проивзодная переменной длины дуги s(t)
этой кривой выр-ся
ф-лой s'(t)=.
Пусть S
— длина всей
кривой Г, тогда используя данное нер-во и ф-лу Ньютона-Лейбница
получим
=
=s(
)-s(
)=S,
т.к. s(
)=S,
а s(
)=0.