Криволинейный интеграл первого рода и его свойства.

Г={r=r(t), } (1), r(t) – непрерывно диф-ма на [;], в каждой точке кривой опр-на касательная.

Уравнение =(), ab (2) — задает ту же самую кривую, что и (1), если оно получено допустимой заменой параметра. Говорят, что замена параметра t=t(), ab – допустима, если: а)найдется такое разбиение отрезка [a;b] точками ,...,, что ф-ция t() явл-ся непрерывно диф-мой на каждом из интервалов (;) i=б)t'()>0 на каждом из интервалов (;) в)t() непр. на [a;b], причем t(a)=, t(b)=, r(t())=. Обратная замена параметра =(t) также удовлетворяет усл-ям а)-в).

Уравнение r=r(+-t), (3) опр-ет кривую -Г, ориентированную противоположно Г. Её начало совпадает с концом Г, а конец — с началом. Векторы касательных Г и -Г в каждой точке имеют противоположное напр-е.

Пусть на некотором мн-ве, содержащем кривую Г, задана непрерывная ф-ция R(x,y,z). Если гладкая кривая Г задана ур-ем (1), то опр-ный интеграл R(x(t), y(t), z(t))dt — будет наз-ся криволинейным интегралом 1ого рода от ф-ции R(x,y,z) по кривой Г и обозначаться R(x,y,z)ds=R(x(t), y(t), z(t))dt. (4)

Свойство 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Д-во: Предположим, совершен переход от ур-я (1) к ур-ю (2) при помощи допустимой замены параметра. Делаем в инт-ле (4) замену переменной t=t(), учитываем что t'()>0 на каждом из интервалов (;) и получаем: R(x(t), y(t), z(t))dt=R(x(t()), y(t()), z(t()))t'()d=R(, , )d. После замены параметра можно получить и несобственный интеграл с особыми точками ,...,, но его форма такая же, как и у инт-ла (4).

Свойство 2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой Г, т.е R(x,y,z)ds=R(x,y,z)ds.

Д-во: Кривую -Г можно задать ур-ем (3). Делаем в (4) замену переменной =+-t, получаем R(x,y,z)ds=R(x(t), y(t), z(t))dt=R(x(+-t), y(+-t), z(+-t))d=R(x,y,z)ds.

Свойство 3. Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой: если Г=(,...,) то R(x,y,z)ds=R(x,y,z)ds.

Д-во: Данное св-во следует из опр-я (4) криволинейного интеграла и свойства аддитивности определенного интеграла относительно обл-ти интегрирования.

Комментарии