Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.

Пусть - область трехмерного пространства, в каждой точке которой задан вектор. Тогда говорят, что в области задано векторное поле. Если фиксирована ПДСК, то векторное поле можно задать при помощи трех скалярных функций: F(x,y, z)=(P(x,y, z), Q(x,y, z), R(x,y, z)). Если ф-ции P, Q, R непрерывны в области , то и поле F наз-ся непрерывным в области . Если ф-ции P, Q, R непрерывно дифференцируемы в области , то и поле F наз-ся непрерывно дифференцируемым в области . Если можно так выбрать ДСК, что , а ф-ции P и Q не зависят от координаты z, то векторное поле F наз-ся плоским. В этом случае F=(P(x,y), Q(x,y)).

Пусть в области определено непрерывное векторное поле F=(P(x,y, z), Q(x,y, z), R(x,y, z)), а r=r(t), есть уравнение гладкой (или кусочно гладкой) кривой Г, лежащей в области . Определенный интеграл : = ++ будет называться криволинейным интегралом 2ого рода от векторного поля F по кривой Г и обозначается или . Таким образом, получаем по опредлению =(1).

Если ДСК фиксирована, то полагая Q=R=0, получим: =(2). Аналогично =, =dt.

Определенный интеграл, стоящий в правой части (2) наз-ся криволинейным интегралом 2ого рода от ф-ции P(x,y, z) по кривой Г, обозначается и в отличии от зависит от выбора ДСК.

Свойства интеграла (1).

Свойство 1. Криволинейный интеграл 2ого рода не зависит от способа параметризации кривой.

Док-во: такое же, как для соотв. свойства криволинейного интеграла 1ого рода.

Свойство 2. Криволинейный интеграл 2ого рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак. = ..

Док-во: Пусть кривая Г задана векторным уравнением r=r(t), , а кривая -Г — уравнением , . Тогда . Для краткости положим F(x,y, z)=F(r). Тогда ==–dt==.

Свойство 3. Криволинейный интеграл 2ого рода аддитивен относительно кривой.

Док-во: такое же, как для соотв. свойства криволинейного интеграла 1ого рода.

Комментарии