Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
Теорема. Для
сходимости несобственного интеграла I=
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
.
Док-во: Обозначим
=
,
.
Тогда сходимость интеграла I означает
существование конечного предела ф-ции
при
а этот предел (по критерию Коши для ф-ций) сущ-ет тогда и только
тогда, когда F удовлетворяет условию :
.
В силу свойств интеграла следует, что
=
.
Поэтому условие для ф-ции F выполняется
тогда и только тогда, когда выполняется условие теоремы, если взять
=
.
Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
Несобственный интеграл I=
называется: а)абсолютно сходящимся, если сходится
интеграл
=
,
в этом случае говорят, что ф-ция f абс.
интегрируема на промежутке [a;b); б)условно
сходящимся, если интеграл I сходится,
а
расходится.
Теорема.
Если несобственный интеграл
сходится,
то интеграл I также сходится и выполняется
неравенство:
.
Док-во: 1)Из
сходимости
следует, что для него выполняется условие Коши, то есть:
.
По определению несобственного интеграла I ф-ция
f(x) интегрируема по Риману на отрезке с
концами
и поэтому ф-ция
также интегрируема по Риману на этом отрезке. Далее применим правило
оценки интегралов и получим:
,
отсюда следует что f удовлетворяет условию
Коши, и по достаточному признаку сходимости сходится интеграл I.
2)
- это нер-во справедливо
[a;b).
В силу сходимости I и
сущ-ют
пределы при
левой
и правой частей этого нер-ва, равные соответственно I
и
.
Переходим к пределу, получаем
.