Признак сходимости (Дирихле) для несобственных интегралов.
Теорема.
Пусть ф-ция f непрерывна, а ф-ция g
имеет непрерывную производную на промежутке [a;)и
выполняются следующие условия: 1)ф-ция F(x)=
(первообразная для f) ограничена на
[a;
),
т.е.
[a;
)
;
2)ф-ция g'(x) не меняет знака на
промежутке [a;
),
т.е.
или
;
3)
=0.
Тогда интеграл I=
сходится.
Док-во: 1) Покажем,
что ф-ция fg на промежутке [a;)
удовлетворяет усл-ю Коши. По формуле интегрирования по частям для
>a,
>a
получим:
=F(x)g(x)
-
.
Из 1-ого усл-я теоремы следует, что
,
.
По 2-ому условию теоремы
=-g'(x)
или
=g'(x).
В первом случае
=
=
=g(
)-g(
),
а во втором случае
=g(
)-g(
).
Следовательно,
=
=
.
В итоге получаем
2M.
По 3-ему условию
теоремы
.
Поэтому для
следует, что
<2M*(
)=
,
т.е. ф-ция fg
на промежутке [a;
)
удовлетворяет условию Коши и поэтому интеграл сходится.