Равномерная непрерывность ф-ции, непрерывной на компакте.
Определение. Говорят, что
f(x) равномерно непрерывна на мн-ве G метрического
пр-ва Х если
x,
x'
G:
(x,
x')<
<
.
Теорема Кантора. Ф-ция f(x), непрерывная на компакте метрического пространства, равномерно непрерывна на этом компакте.
Д-во: Пусть f(x)
непрерывна на компакте М, но не равномерно непрерывна. Тогда
>0
:
M
:
,
но
(1).
М — компакт
из
посл-ти {
}
можно выделить подпосл-ть {
},
сходящуюся к нек-ой точке
M.
По нер-ву треугольника
получим: 0+
<
+
0
при
,
след-но
=
.
Но f(x) непрерывна в т.
,
поэтому
=
=f(
).
Полагая n=
в (1), получим
(2).
Переходим к пределу в нер-ве (2), получаем 0=
>0.
Противоречие. Значит, f(x) должна
быть равномерно непрерывной на мн-ве М.