Система Orphus

Система Orphus
  1. Равномерная непрерывность ф-ции, непрерывной на компакте.

Определение. Говорят, что f(x) равномерно непрерывна на мн-ве G метрического пр-ва Х если x, x' G: (x, x')<<.

Теорема Кантора. Ф-ция f(x), непрерывная на компакте метрического пространства, равномерно непрерывна на этом компакте.

Д-во: Пусть f(x) непрерывна на компакте М, но не равномерно непрерывна. Тогда >0 : M : , но (1). М — компакт из посл-ти {} можно выделить подпосл-ть {}, сходящуюся к нек-ой точке M.

По нер-ву треугольника получим: 0+< + 0 при , след-но =. Но f(x) непрерывна в т. , поэтому ==f(). Полагая n= в (1), получим (2). Переходим к пределу в нер-ве (2), получаем 0=>0. Противоречие. Значит, f(x) должна быть равномерно непрерывной на мн-ве М.


Система Orphus

Комментарии