34. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Ряд   (1), где  при всех nN, называется знакочередующимся.

Теорема Лейбница. Если последовательность  монотонно стремится к нулю, т.е.  (2) для всех nN, (3), то знакочередующийся ряд (1) сходится.

Пусть . Тогда  в силу условия (2) , т.е  – возрастающая последовательность. Кроме того, -…-так как   для всех nN и  – убывающая последовательность (условие (2)). По теореме о пределе возрастающей и ограниченной сверху последовательности существует конечный предел . Отсюда и из условия (3) следует, что , т.е. ряд  (1) сходится.•