34. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Ряд (1), где
при всех n
N, называется знакочередующимся.
Теорема Лейбница. Если последовательность
монотонно стремится к нулю, т.е.
(2) для всех n
N,
(3),
то знакочередующийся ряд (1) сходится.
Пусть . Тогда
в силу условия (2) , т.е
– возрастающая последовательность. Кроме
того,
-…-
так
как
для всех n
N и
– убывающая последовательность (условие
(2)). По теореме о пределе возрастающей и ограниченной сверху последовательности
существует конечный предел
. Отсюда и из условия (3) следует, что
, т.е. ряд (1) сходится.•