35. Признак Дирихле сходимости числовых рядов.

Ряд  сходится, если последовательность частичных сумм ряда  ограниченна, т.е. M(2), а последовательность  монотонно стремится к нулю, т.е.  (3) для всех nN или  (3’) для всех nN и .

Покажем, что для ряда (1) выполняется условие Коши. Введем следующие обозначения  (5),  nN, pN (6). Преобразуем σ, учитывая, что  при k>1, согласно формуле (5). Получим σ= , где =. Поэтому σ=+ (7).

Если справедливо неравенство (3), то из формулы (7) и условия (2) следует, что |σ+, где ≤

Таким образом, для всех nN и для всех pN выполняется неравенство |σ (8).  Условие (8) остается в силе, если заменить (3) условием (3’). Условие (4) означает, что  (9), а из (6), (8) и (9) следует, что , т.е. ряд (1) удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот ряд сходится.•