4. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции

Опр: Функция определенная в окрестности называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение Δf в :

=–=+ , что

Необходимое условие дифференцируемости:

Если функция дифференцируема в , то,

1.Она непрерывна в этой окрестности.

2.Существуют частные производные , i=1,...,m; причем

Док-во:

Если дифф.,то =+ + ,

lim lim (при и )=

Следовательно, непрерывна в .

Докажем, что в сущ. =0.

–=+, НО lim =0, . Значит, lim =0 (аналог предела по направлению для функции m переменных)

–=+, где .

(–)/

Тогда в пределе при существует что и требовалось доказать.

Достаточное условие дифференцируемости

Пусть существуют и непрерывны для функции в для функции m переменных. Тогда дифференцируема в .

Док-во.

Доказываем при m=2, (в общем случае аналогично, но более громоздко)

Т.к.,непрерывны в , то они определены в => f(x,y) определена в . Рассмотрим ∆х, ∆у такие, что принадлежит .

––+=

Рассмотрим — дифф. по х на ,

– дифф. по у на ,. По теореме Лагранжа:

= +

(или наоборот, в зависимости от знаков ∆х,∆у)

Пусть и . В силу непрерывности соответствующих функций двух переменных:

, ;

;

; , можно считать, что

+(B++

Доопределим: x'(0,0)=, (0,0)=

По теореме о двух милиционерах следует, что функции ,x' непрерывны по ∆х,∆y в (0,0), (x,у) и (х,у)

непрерывны по х и у в (0,0), по теореме о суперпозиции непрерывных функций.

.

, то есть умножается на функцию от ∆х,∆y, которая стремится к нулю, при

. что и требовалось доказать.

Комментарии