Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции
Опр:
Функция
определенная в окрестности
называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение
Δf в
:
=
–
=
+
, что
Необходимое условие дифференцируемости:
Если
функция
дифференцируема в
,
то,
1.Она непрерывна в этой окрестности.
2.Существуют
частные производные
,
i=1,...,m; причем
Док-во:
Если
дифф.,то
=
+
+
,
lim
lim
(при
и
)=
Следовательно,
непрерывна в
.
Докажем,
что в
сущ.
=0.
–
=
+
,
НО
lim
=0,
.
Значит, lim
=0
(аналог предела по направлению для функции m
переменных)
–
=
+
,
где
.
(–
)/
Тогда в пределе
при
существует
что
и требовалось доказать.
Достаточное условие дифференцируемости
Пусть существуют и непрерывны
для
функции
в
для функции m переменных. Тогда
дифференцируема в
.
Док-во.
Доказываем при m=2, (в общем случае аналогично, но более громоздко)
Т.к.,
непрерывны
в
,
то они определены в
=>
f(x,y) определена в
.
Рассмотрим ∆х,
∆у такие, что
принадлежит
.
–
–
+
=
Рассмотрим
— дифф. по х на
,
– дифф. по у на
,
.
По теореме Лагранжа:
=
+
(или
наоборот, в зависимости от знаков ∆х,∆у)
Пусть
и
.
В силу непрерывности соответствующих функций двух переменных:
,
;
;
;
,
можно считать, что
+(B+
+
Доопределим:
x'(0,0)=,
(0,0)=
По
теореме о двух милиционерах следует, что функции
,x'
непрерывны по ∆х,∆y
в
(0,0),
(x,у)
и
(х,у)
непрерывны по х
и у в
(0,0),
по теореме о суперпозиции непрерывных функций.
.
,
то есть
умножается на функцию
от ∆х,∆y,
которая стремится к
нулю, при
.
что и требовалось доказать.