Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей.
Будем
рассматривать ряд
(1).
Теорема.
Если все члены ряда (1) — непрерывные на отрезке [a;b]
ф-ции, а ряд (1) сходится равномерно на [a;b],
то ряд
также
равномерно сх-ся на [a;b], и если
S(x)=
(2),
то
=
,
[a;b](3),
т.е. ряд(2) можно почленно интегрировать.
Д-во: По усл-ю ряд
(2) сх-ся равномерно к S(x) на [a;b],
т.е.
=
S(x),
[
a;b].
Это означает, что
[a;b]
<
(4).
Пусть
(x)=
,
а
(x)=
-n-ая
частичная сумма ряда (1). Ф-ции
(x),
,
по усл-ю непрерывны на отрезке [a;b] и
поэтому они интегрируемы на [a;b] . Ф-ция
S(x) также интегрируема на [a;b],
т.к. она непрерывна на этом отрезке. По св-вам интеграла
получаем:
(x)=
=
.
Следовательно,
(x)-
(x)=
,
откуда в силу усл-я (4) получаем
<
=
,
это нер-во выполняется для всех
и
для всех
[a;b].
Это означает, что ряд (1) сходится равномерно на [a;b]
и выполняется рав-во (3).
Замечание.
Рав-во (3) остается в силе, если заменить a на
c, x на d, где
,
т.е. ряд (2) можно почленно интегрировать на любом отрезке [c;d]
содержащемся в отрезке [a;b].