42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425

Функциональные ряды вида , где (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа, -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z=-а, получим ряд (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1).

Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z=0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<||; а если этот ряд расходится при z=0, то он расходится при всяком z, для которого |z|>||.

а) Пусть ={z: | z|<||}- круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса ||, и пусть z – произвольная точка круга , т.е. |z|<||, поэтому q=|z/|<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке , то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности {},т.е. M. Используя неравенство (3) и (4), получаем ||=||*| z/M, где . (5) Так как ряд , где, сходится, то по признаку сравнения сходится ряд ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга .

б) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в любой точке такой, что ||<||, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке .

Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R(-число или ) такое, что: а) если и , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда;

б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;

в) если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R=, а если существует конечный и бесконечный , то R=.

0, .

Комментарии