Остаточный член в формуле Тейлора.
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке . Тогда ей можно поставить в соответствие ряд (1). Обозначим
(5)
(6)
и назовём остаточным членом формулы Тейлора для функции f в точке . Если существует
(7)
то согласно определению сходимости ряда ряд (1) сходится к функции f(x) в точке x, т.е.
f(x)=. (8)
Т е о р е м а 1. Если функции f(x), f'(x),…, непрерывны на интервале , где , то для любого остаточный член формулы Тейлора для функции f в точке можно представить:
а) в интегральной форме
(t)dt (9)
б) в форме Лагранжа
, (10)
где принадлежит интервалу с концами и x.
○ Формула(10) была доказана в 18. Докажем формулу (9) методом индукции. В силу равенств (5) и (6) нужно показать, что
f(x)-=+(t)dt (11)
Воспользуемся равенством f'(t)dt=f(x)- и преобразуем его левую часть с помощью формулы интегрирования по частям:
f'(t)d(x-t) = [-f'(x)(x-t)] = (x-t)f''(t)dt .
Таким образом,
f(x)-(x-t)f''(t)dt,
т.е. формула (11) верна при n=1. Предположим, что формула (11) является верной для номера n-1, т.е.
f(x)- (t)dt. (12)
Преобразуем интеграл в правой части формулы (12), применив формулу интегрирования по частям:
(t)dt=- = += +
Отсюда следует, что равенство (12) можно записать в виде (11). Формула (9) доказана. ●