Ряд Тейлора.

Если функция    определена в некоторой окрестности точки    и имеет в точке    производные всех порядков, то степенной ряд 

         (1)

Называется рядом Тейлора функции f в точке  .

Пусть функция f регулярна в точке   , т.е. представляется в некоторой окрестности точки    сходящимся к этой функции степенным рядом

f(x)=>0.                                        (2)

Тогда по теореме 7  43 функция    бесконечно дифференцируема в окрестности точки   , причём коэффициенты ряда (2) выражаются формулами

 , . (3)

Таким образом, степенной ряд для функции f(x), регулярной в данной точке  , совпадает с рядом Тейлора f в точке a.

Если известно, что функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора (1)  сходится при    к функции f(x).

Разложение в степенной ряд .

Пусть  . Тогда для любого   , где  , выполняются неравенства

,.

По теореме 2 ряд    (15)  для функции    сходится к этой функции на интервале    при любом    , т.е. радиус сходимости этого ряда   . Так как для функции    выполняются равенства   =1 для любого n, то по формуле (15) получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции

.            (16)