Разложение в ряд Тейлора степенной функции .

Пусть . Если , то f(x)=1, а если , где , то f(x) – многочлен степени n, который можно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы:

Покажем, что если  и , то функция  представляется при каждом  сходящимся к ней рядом Маклорена

,(30)

где

,(31)

Так как

...  (32)

то по формуле

(23)

Получаем

(33)

где

Выберем число  таким, чтобы выполнялось условие  Тогда при всех  справедливы неравенства

  ... (34)

Используя неравенства |1+   и    (при x меньше 1 и  от 0 до 1 включительно), а также неравенство , получаем

(35)

=  (36)

Из формулы (33) и оценок (34)-(36) следует неравенство

(37)

которое справедливо при всех  и для каждого

Так как

При , то

Поэтому из соотношения (37) следует, что  при  для каждого , т.е. справедливо равенство (30), причем радиус сходимости ряда (30) в случае, когда , равен 1. 

            Отметим важные частные случаи формулы (30):