6. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.

Опр: Для функции двух переменных :

,если эти производные существуют.

Теорема о независимости смешанной частной производной от порядка дифференцирования.

Пусть f(x, у) такова, что в существуют , причем непрерывны в . Тогда

Док-во:

Рассмотрим выражение: =--

Рассмотрим функцию .Она дифференцируема на

== по т.Лагранжа = ;

-

=,-диф. На.

По th Лагранжа:

=, ,

W,

По теореме о двух милиционерах:

lim, lim

Доопределим .Получим функции непрер. в (0,0), т. к. непрерывна в точке , то

lim W

Если преобразование W начать с переменной х:

, Ф(x)=то аналогично:

=;

Следовательно, при

Отсюда следует утверждение теоремы. ЧТД.

Комментарии