8. Теорема о неявной функции, определяемой одним уравнением.

Пусть функция определена в . Рассмотрим уравнение . (1) Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется графиком уравнения. Через будем обозначать проекцию графика на ось х. Будем рассматривать такие уравнения (1), графики которых не есть пустые множества.

Если график уравнения (1) взаимно однозначно проектируется на , то существует единственная функция , график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому ставит в соответствие тот единственный y,для которого . Говорят, что уравнение (1) определяет y как неявную функцию x.

Теорема 1. Пусть:

а) функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные и ;

б) ;

в) ;

Тогда существует прямоугольник

K=+,

в котором уравнение определяет y как неявную функцию x. Функция непрерывно дифференцируема на интервале и f'(x)=. (2)

Доказательство:

1. Доказательство существования неявной функции. Из условия в) следует, что либо , либо . Без ограничения общности можно считать, что . (3) Если , то вместо уравнения можно было бы рассмотреть эквивалентное уравнение . Тогда >0.

Так как функция в точке непрерывна и в силу условия (3) принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник ,, в котором функция .

Рассмотрим функцию одной переменной , . Функция строго возрастает на отрезке , так как . Кроме того, в силу условия б) =0.

Поэтому –b)<0 , +b)>0. (4)

Неравенства (4) в силу непрерывности функции должны сохраняться в некоторых окрестностях точек и . Поэтому существует такое , что для всех выполнены неравенства , . (5)

Покажем, что в прямоугольнике уравнение определяет y как неявную функцию х.

Возьмем любую точку и рассмотрим непрерывную на отрезке функцию одной переменной . В силу условия (5) эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:

–b)<0, +b)>0.

По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка , что =0.

Так как , то функция строго возрастает на отрезке и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого найдется единственный такой, что . Это означает, что в прямоугольнике К уравнение определяет y как неявную функцию x.

2) Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции.

Непрерывная на замкнутом прямоугольнике К функция по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение . Так как на К, то . (6). Непрерывная на К функция ограниченная на К. Поэтому . (7)

Пусть есть неявная функция, определяемая в прямоугольнике К уравнением . Возьмем две точки и , лежащие на графике функции . Тогда .

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем

+=0, . (8)

Если воспользоваться неравенствами (6) и (7), то из (8) получаем . (9)

Следовательно, при и неявная функция непрерывна в любой точке .

Если теперь воспользоваться непрерывностью частных производных, то, деля второе из равенств (8) на и переходя к пределу при , получаем, что существует предел отношения при и будет непрерывной функцией на отрезке как суперпозиция непрерывных функций.

Комментарии