Энергетический метод вычисления сил в магнитном по л е

Пусть проходит квазистатический процесс при постоянной температуре. Тогда работа внешних сил пойдёт на приращение свободной энергии системы, то

есть, магнитной. Считая провода идеально проводящими (потому что энергия не зависит от сопротивлений проводов, а зависит только от самих токов), получим, что потоки через все контуры сохраняются.

delta A_внеш = delta W_m

delta A = - [delta W_m]_(Ф = const)

Можно использовать другой вариант энергетического метода, при котором сохраняется не поток, а ток.

Для этого введём внешние электродвижущие силы, которые будут уравновешивать ЭДС индукции.

ЭДС_внеш_i = -ЭДС_инд_i = 1/c dФ_i/dt

Работа этих внешних ЭДС будет равна:

delta A_внеш = 1/c (Sigma) dФ_i/dt I_i dt = 1/c (Sigma) I_i dФ_i

Она пойдёт на работу систем delta A и на приращение магнитной энергии. delta A + delta W_m = 1/c (Sigma) I_i dФ_i

Если токи поддерживаются постоянными, то:

delta W_m = delta (1/2c (Sigma) I_i Ф_i) = 1/2c (Sigma) I_i delta Ф_i

Подставив в предыдущее соотношение, получим:

delta A = [delta W_m]_(I = const)

Например, магнитная энергия двух витков с током: W_m = 1/2 L_11 I_1 ^2 + 1/2 L_22 I_2^2 + L_12 I_1 I_2

Если произвольным образом, но без деформации сместить витки, то в виду однородности среды коэффициенты самоиндукции L_11 и L_22 останутся постоянными.

delta W_m = I_1 I_2 delta L_12

оставляя виток 2 неподвижным, сместим виток 1 на отрезок delta r_1.

Элементарная работа, совершаемая системой, будет равна

delta A = F_1 delta r_1, где F_1 - результирующая амперовых сил, действующих на виток 1.

Если же мы сместим второй виток на отрезок - delta r1 = delta r2, изменение взаимной индукции будет тем же самым, так как взаимная индукция зависит только от взаимного расположения витков. То есть, F_1 delta r_1 = F_2 delta r_2, F_1 = - F_2. То есть, мы показали, что магнитное взаимодействие замкнутых токов удовлетворяет принципам действия и противодействия.

Подъёмная сила электромагнита

Ярмо - подкова, якорь - брусок.

Оторвем якорь от ярма, отодвинув его на расстояние dx и подсчитаем, какая при этом должна быть совершена механическая работа. Полный энергетический баланс выглядит следующим образом: -Fdx = delta A_E - delta A_I - dW_L, где delta A_E — работа источника э.д.с; delta A_I — приращение джоулева тепла;

dW_L — приращение магнитной энергии контура.

Величины delta A_E и delta A_I должны вычисляться за время перемещения на фоне постоянной мощности, потребляемой электромагнитом. Введем в рассмотрение также приращения тока в контуре dI и магнитного потока через сердечник dФ в момент перемещения. Эти два приращения должны быть связаны законом Ома:

dI = 1/(Rc) dФ/dt

Приращение работы источника равно

delta A_E = ЭДС (I+ dI)/c dt - ЭДС I/c dt = ЭДС dI/c dt = -ЭДС dt/(Rc) dФ/dt = - I dФ/c

Приращение джоулевых потерь относительно таковых в стационарном режиме

delta A_I = R(I + dI)^2/c^2 dt - RI^2/c^2 dt ~= 2RI dI dt/c^2 = -2IdФ/c^2

И, наконец, приращение энергии магнитного поля определяется только начальным и конечным состояниями:

d W_L = d(LI^2/2)/c^2 = 1/2 I^2 dL/c^2 = 1/2 I dФ/c^2

Во-первых, при дифференцировании энергии поля мы положили dI = 0, поскольку она при изменении конфигурации зависит лишь от положения якоря при установившемся токе I_0 = ЭДС/R. Во-вторых, величина d W_L формально совпадает с последующим ответом и потому иногда предлагается в

качестве его обоснования. Как рецепт такой прием вполне допустим, но необходимо понимать, что за ним не стоит иного содержания, кроме проделанных выше выкладок. Итак,

-F dx = - I dФ /c^2 + 2IdФ/c^2 - 1/2 I/c^2 dФ = 1/2 I dФ/c^2

-F = I/2c dФ/dx = d W_L/dx

Далее для вычисления Ф заменим dx малой, но конечной величиной х и воспользуемся магнитной цепью с учетом того обстоятельства, что поток через контур в N раз больше потока через сердечник:

Ф = N(I/c)*N/(l/(мю S) + 2x/S) = мю S N^2 (I/c) / (l + 2 мю x)

Максимальной величине F — подъемной силе — соответствует предел х —>0:

F = S (мю N I /(lc))^2

Комментарии