Волноводы

Пусть плоская электромагнитная волна падает на поверхность идеального проводника: вектор k лежит в плоскости (у, z), ось у перпендикулярна плоской поверхности проводника, а ось z параллельна поверхности, т. е. плоская поверхность проводника — плоскость (x, z). Будем полагать, что падающая волна линейно поляризована, причем вектор Е перпендикулярен плоскости (у, z), т. е. имеет только х-компоненту и, следовательно, параллелен поверхности проводника. Уравнение падающей волны имеет вид

Е_1х = a cos(wt - k_y y-k_z z); k_x =0; k_y=ksin al, k_z=kcos al.

Вновь полагаем, что наряду с волной Е_1х возникает отраженная волна Е'_1х = a' cos(wt - k'_y y-k'_z z), причем ее амплитуда, направление распространения и начальная фаза должны быть выбраны так, чтобы выполнялось граничное условие — равенство нулю тангенциальной компоненты вектора Е в суммарной волне на поверхности (при у = 0). Легко видеть, что это условие выполняется,

если амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны (а' = а), угол падения равен углу отражения (аl = аl'), а колебания Е'_1х на поверхности (при у = 0) противофазны с колебаниями (E_1x (fi=pi)), т. е. Е'_1х = a cos(wt + k_y y-k_z +pi), а вектор k' отраженной волны имеет компоненты k'_y = — ky, k'_z=k_z, поэтому аргумент косинуса содержит слагаемое +k_y y вместо слагаемого -k_y y в падающей волне.

Действительно, суммарная волна над проводящей стенкой имеет вид: Е_х(у, z, t) = — 2a sin(k_y y) sin(wt — k_z z). На проводящей поверхности (при у = 0): E_x(0,z,t)=0, т. е. требуемое граничное условие выполняется.

Обратим теперь внимание, что если на расстоянии d от проводящий

стенки (т. е. при у = d) установить вторую проводящую стенку (параллельно первой), причем выбрать расстояние между стенками d так, чтобы d = у = = npi/k_y, то волна в области между стенками 0 < у < d не изменится, поскольку необходимые граничные условия —

равенство нулю тангенциальной компоненты поля на проводящих поверхностях (при у = 0 и у = d), автоматически выполняются. При этом E_x(y,z,t)=2a sin (npi y/d) sin(wt-k_z z), где k_z=sqrt(k^2- (npi/d)^2) = sqrt((w/c)^2-n^2(pi/d)^2).

Итак, между двумя параллельными проводящими стенками,

расположенными на расстоянии d друг от друга (коридор между стенками представляет собой простейший волновод) могут распространяться волны такого вида. Каждому значению n отвечает свой тип волны — своя "мода" волновода, разным модам отвечают различные конфигурации поля — различные распределения амплитуды колебаний в фиксированном сечении z = const: A_n(y) = 2a sin(n pi y/d).

Каждый тип волны, отвечающий фиксированному значению n, можно рассматривать как суперпозицию плоской волны, падающей на проводящую стенку и волны, отраженной стенкой, т. е. каждый тип волны образован суммой двух плоских волн, волновые векторы которых k и k' составляют угол al_n с осью волновода, причем разным n отвечают различные углы al: sin al_n = npi/(kd) = n lambda0 / (2d), где l0 = 2pi/k = 2pi c/w — длина волны в вакууме. Волновые поверхности перемещаются вдоль оси волновода — оси z, причем фазовая скорость может быть найдена из wt — k_z z = const, откуда

v_ф = dz/dt = w/k_z = w/sqrt((w/c)^2-n^2(pi/d)^2) = c/sqrt(1-n^2(l0/2d)^2).

Как ясно из этого, фазовая скорость волн в волноводе больше скорости света в вакууме. Расстояние между волновыми поверхностями, на которых фаза колебаний отличается на 2pi (т. е. колебания синфазны) — это длина волны в волноводе, равная

l = 2pi/k_z = l0/sqrt(1-n^2(l0/2d)^2) > l0. Итак, длина волны в волноводе больше длины волны той же частоты в вакууме.

Наконец, ясно, что если k_z — действительное число, то Е_х(у, z, t) действительно представляет собой бегущую вдоль оси z волну с перемещающимися волновыми поверхностями. Для этого необходимо выполнение неравенства

(w/c)^2 >= n^2(pi/d)^2.

Таким образом, существует критическая частота w_кр — минимальная частота волны, которая может распространяться (бежать) по волноводу. Эта частота отвечает значению п = 1: w_Kp = pi c/d.

Соответствующая длина волны в вакууме l_кр = 2pi с/w_кр = 2d — это максимальное значение длины волны в вакууме, которая может бежать по волноводу. Критическому условию отвечает угол аl — направление пары плоских волн, составляющих моду волновода — равный sin аl = l_кр/(2d) = 1, т. е. а = pi/2 - стоячая волна между стенками.

Комментарии