Определение. Если , то - точка условного локального экстремума ф-ции f на мн-ве Х.

Пусть в окр-ти т.заданы скалярная ф-ция f(x) и вектор-функция g(x)=. Рассм.задачу отыскания экстремума f(x) на множестве Х, заданном системой уравнений g(x)=: f(x)extr: g(x)=в предположении, что m<n. (1).

Если система из m уравнений разрешима относительно m переменных, т.е вектор можно разбить на 2 вектора и: = таких, что g(y,z)=y=(z), то задача (1) сводится к задаче отыскания безусл.экстр.ф-ции f((z), z). Этот метод наз-ся методом разрешения ограничений.

Если в задаче (1) не удается разрешить ограничения, то нужно использовать метод множителей Лагранжа.

Опр. Ф-цией Лагранжа для задачи (1) наз-ся ф-ция L(x, )=f(x)+g(x)=f(x)++...+, где =- вектор мн-лей Лагранжа.

Замечание. Применение метода мн-лей Л.не требует разр-я огр-ий, однако в силу теоремы о неявной функции огр-я g(x)=можно разрешить в некоторой окр-ти т..

Опр. Говорят, что в т. выполнены условия локальной разрешимости ограничений g(x)=, если: 1)g()= 2)g(x) непр.диф-ма в окр-ти т. 3)rang D g()=m (строки м-цы Якоби линейно независимы)

Разобьем x= на у= и z= x= и =, f(x)=f(y,z), L(x, )=L(y,z, ) . Обозначим =(… ), =(… ), =, =.

Лемма. Пусть в т. выполнены условия локальной разрешимости ограничений. Тогда и непр.диф-мая в : g(y,z)=y=(z). При этом = - локальный экстремум в задаче (1) тогда и только тогда, когда - безусл.лок-ный экстр. F(z)=f((z), z).

Теорема. Пусть - локальный экстремум в задаче (1). Пусть f(x) и g(x) непр.диф-мы в окр-ти т.и rang D g()=m. Тогда : - стационарная точка ф-ции L(x,).

Док-во: Из условий следует, что в точке выполнены условия локальной разрешимости ограничений. В силу леммы -непр.диф-мая и такая, что в т.= g(y,z)= y=(z). Нужно док-ть, что : . 1)удовлетворяет ограничениям g(x)=0==2)=+=. det0 =-* 3)по условию, -точка лок.экстремума. Из этого и из леммы следует, что - точка безусл.экстремума ф-ции F(z)=f((z), z). Т.к. y=(z) реш-е ур-я g(y,z)=, то g((z),z)=F(z)=f((z), z)+=L((z), z, ). В силу необходимого усл-я безусловного локального экстремума - стационарная точка ф-ции F(z), т.е =0 *+=0, =, =0. Из всего этого .

Итак, из 1), 2), 3) следует . Что и требовалось доказать.

Комментарии