Лемма. Для любых
множеств E, F
справедливы
включения: а)
б)
в)
Д-во: докажем
включение (а). Вкючения (б) и (в) доказываются аналогично. Пусть x.
Тогда x
=cl
E
cl
F и x
int
E
F=int
E
int F. Следовательно, либо х
cl
E, либо х
cl
F. А значит, либо х
cl
E
int
E=
,
либо х
cl
F
int
F=
,
т.е в любом случае х
.
Следствие. Если
мн-ва E и F измеримы,
то мн-ва cl E, int E, EF,
E
F,
E
F
измеримы.
Док-во: Измеримость
мн-в cl E и int E
следует из критерия измеримости и включений
,
(int
E)
.
Измеримость мн-в E
F,
E
F,
E
F
следует из критерия измеримости и леммы.