_{Линейность кратного интеграла:}

доказывается через линейность интегральной суммы и линейность предела.

Аддитивность интеграла по множествам:

Если функция ограничена и интегрируема на X и Y, то она интегрируема на

, . причём если , то

Док-во:

т.к. функция ограничена

Зададим произвольное разбиение множества и рассмотрим 3 множества индексов . Разобьём разность сумм Дарбу на три суммы

, тогда потому что , для аналогично. Так как функция интегрируема на и , то . При _,
то т.к.при_следовательно _

_=> кратный интеграл аддитивен по множествам

Если _интегрируемы на измеримом G, то _.

Комментарии