Сведение кратного интеграла к повторному:

I Сведение двойного интеграла по прямоугольнику к повторному интегралу

Пусть 1) f(x,y)  интегрируема в прямоугольнике

 существует

Тогдаесть интегрируемая функция x на отрезке [a,b]и справедлива

Доказательство

Возьмём разбиения отрезков [a,b]  и [c,d]  точками

 тогда если,  соответствующие промежутки разбиения то  где

Пусть  

т.к. существует для любого x,то при справедливы неравенства

 cсуммируя неравенства по j

Введём обозначения  тогда

умножая неравенство на и суммируя по i    

т.к.функция интегрируема на прямоугольнике   =>  и значит в силу критерия интегрируемости

Сведение двойного интеграла по элементарной области к повторному:

Пусть - непрерывные на отрезке [a,b]функции

область будем называть элементарной

относительно оси y. Так как граница состоит из графиков непрерывных функций

Пусть L элементарная относительно оси y область,функция f(x,y)  интегрируема на

 и при любом x∈[a,b]  существует

Доказательство

пустьтогда область L лежит в прямоугольнике

 т.к. f(x,y)  интегрируема на и на,то существует

 аналогично из существования

 следует что существует