Формула Грина

Пусть функции P(x,y)и Q(x,y)  непрерывно дифференцируемы в односвязной области  ,а простой кусочно-гладкий контур Г  ограничивает область Тогда

где -положительно ориентированная граница области G

Доказательство:

Пусть область G-элементарна относительно обеих осей координат, т.е. существуют такие кусочно-непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции что

При помощи сведения интеграла к повторному

аналогично для Q(x,y)

Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно-гладкой замкнутой кривой

Предположим её можно кусочно-гладкой кривой Г разбить на две области простейшего

вида, рассмотренные выше, тогда применяя формулу Грина

складывая эти равенства получаем формулу Грина для области