Дивергенция векторного поля, её независимость от выбора прямоугольной системы координат и геометрический смысл.

Теорема 3. (Геометрическое определение дивергенции.) Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в областиПусть – сфера радиуса δ с центром в точкеориентированная полем внешних нормалей, а– объём шараТогда

Доказательство. Из непрерывной дифференцируемости поляследует непрерывность функциипоэтомупри

Следовательно, =

Из теоремы Гаусса-Остроградского получаем, что

Следовательно,при

Замечание. Поскольку потокне зависит от систем координат, то в силу теоремы 3 дивергенция векторного поля не зависит от системы координат.

Определение. Будем говорить, что поверхность S ограничивает областьесли

1. 

2. G – ограниченное множество.

Определение. Поверхность называется замкнутой, если она ограничивает некоторую область.

Определение. Непрерывное векторное поленазывается соленоидальным в областиесли поток поля ā через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области равен нулю:замкнутой, кусочно-гладкой

Определение. Область называется поверхностно односвязной, если для любой замкнутой поверхности область G, ограниченная поверхностью S, содержится в

Образно говоря, поверхностная односвязность области не имеет «внутренних полостей».

Комментарии