1. Формула Стокса для простой гладкой поверхности.
Пусть в ориентированном евклидовом
пространстве задана простая поверхность
уравнением
r = r
(u,v), (u,v)
R2 . (1)
Здесь
— замкнутая область, граница которой есть положительно
ориентированный гладкий (или кусочно-гладкий) контур (при обходе
границы
область
остается слева). Пусть
задается уравнениями
u = u(t), v = v(t),
. (2)
Образ кривой
при
отображении (1) мы назвали положительно ориентированным краем
поверхности
и обозначили
.
Напомним, что ориентация поверхности
,
создаваемая полем нормалей N = [ru,rv],
называется согласованной с положительной ориентацией края. Было
показано, что такое согласование совпадает с известным правилом
правого винта.
Пусть в окрестности поверхности
задано непрерывно дифференцируемое векторное поле а = (P(x,y,z),
Q(x,y,z),
R(x,y,z)).
Если
— замкнутый контур, то криволинейный интеграл
(a,
dr) в
физике называют циркуляцией векторного поля а по контуру
.
Если
,
то говорят, что поверхность
натянута на контур
.
Теорема 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля а по контуру
равна потоку вихря этого поля через поверхность
,
натяну-
тую на контур
,
т. е.
(a,
dr) =
(rot
a, n)
dS (3)
Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые были сформулированы в начале п. 1. Из (1) и (2) получаем уравнение края поверхности
r =
r (u(t),
v(t)),
Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем
(a,
dr) =
(a(r(u(t),
v(t))), ru(u(t),
v(t))u’(t) + rv(u(t),
v(t))v’(t))dt =
=
(a,
ru)du
+ (a,
rv)dv
Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а следовательно, и равенстве) смешанных производных ruv и rvu. Тогда в силу формулы Грина (пункт 5) получаем равенство
(a,
dr) =
[
(a,
rv)
-
(a,
ru)]dudv
=
(
xu,
yu,
zu,
rv)dudv
–
-(
xv,
yv,
zv,
ru))dudv
=
[rv,
(ru,
)a)
- ru,
(rv,
)a)]dudv
=
=(ru,
rv,
rot a)dudv
=
(rot
a, n)dS.
Здесь была использована формула
(b,
(c)a)
- (c,
(b
)a)
= (c, b,
rot a).
при b = rv, с = ru, а также формула, выражающая поток через двойной интеграл от смешанного произведения:
(a,
n) dS
=
(ru,
rv,
a)dudv
Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно-гладкий контур.
2.Формула Стокса для кусочно гладкой поверхности.
Разрежем кусочно гладкую поверхность на
конечное число гладких кусков и запишем формулу Стокса для каждого
куска. Если эти формулы сложить, то криволинейные интегралы по
разрезам взаимно уничтожатся, так как разрезы входят в
ориентированные границы кусков с противоположными ориентациями.
Останется только криволинейный интеграл по краю поверхности
.
Сумма потоков через куски даст, в силу аддитивности поверхностного
интеграла, поток через всю поверхность
,
следовательно, формула Стокса справедлива и для кусочно гладкой
поверхности.