1. Формула Стокса для простой гладкой поверхности.

Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность уравнением

r = r (u,v), (u,v) R² . (1)

Здесь — замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно-гладкий) контур (при обходе границы область остается слева). Пусть задается уравнениями

u = u(t), v = v(t), . (2)

Образ кривой при отображении (1) мы назвали положительно ориентированным краем поверхности и обозначили .

Напомним, что ориентация поверхности , создаваемая полем нормалей N = [ru,rv], называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.

Пусть в окрестности поверхности задано непрерывно дифференцируемое векторное поле а = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Если — замкнутый контур, то криволинейный интеграл (a, dr) в физике называют циркуляцией векторного поля а по контуру . Если , то говорят, что поверхность натянута на контур .

Теорема 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля а по контуру

равна потоку вихря этого поля через поверхность , натяну-

тую на контур , т. е.

(a, dr) = (rot a, n) dS (3)

Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые были сформулированы в начале п. 1. Из (1) и (2) получаем уравнение края поверхности

r = r (u(t), v(t)),

Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем

(a, dr) = (a(r(u(t), v(t))), ru(u(t), v(t))u’(t) + rv(u(t), v(t))v’(t))dt =

= (a, ru)du + (a, rv)dv

Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а следовательно, и равенстве) смешанных производных ruv и rvu. Тогда в силу формулы Грина (пункт 5) получаем равенство

(a, dr) = [(a, rv) - (a, ru)]dudv = (xu, yu, zu, rv)dudv –

-(xv, yv, zv, ru))dudv = [rv, (ru, )a) - ru, (rv, )a)]dudv =

=(ru, rv, rot a)dudv = (rot a, n)dS.

Здесь была использована формула

(b, (c)a) - (c, (b)a) = (c, b, rot a).

при b = rv, с = ru, а также формула, выражающая поток через двойной интеграл от смешанного произведения:

(a, n) dS = (ru, rv, a)dudv

Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно-гладкий контур.

2.Формула Стокса для кусочно гладкой поверхности.

Разрежем кусочно гладкую поверхность на конечное число гладких кусков и запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти формулы сложить, то криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничтожатся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусков с противоположными ориентациями. Останется только криволинейный интеграл по краю поверхности . Сумма потоков через куски даст, в силу аддитивности поверхностного интеграла, поток через всю поверхность , следовательно, формула Стокса справедлива и для кусочно гладкой поверхности.

Комментарии