Потенциальные векторные поля.

Пусть в области G задано непрерывное поле а(М) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция U(M), что

а = grad U, т. е.

P (x,y,z) =

Q (x,y,z) =

R(x,y,z) =

Непрерывно дифференцируемое в области G поле а называется безвихревым, если

rot a = 0 в G.

Теорема 2. Пусть поле а(М) непрерывно в области G. Тогда следующие три условия эквивалентны:

а) для любой замкнутой ломаной;

б) не зависит от ломаной , соединяющей точки А и В;

в) поле а потенциально.

(Доказывается аналогично плоскому случаю) (см. пункт 5)

Комментарии