Система Orphus

Система Orphus

Преобразование Лапласа и его применение для решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.


Определение.

Комплекснозначная функция f(t) называется оригиналом, если:

1. f(t)\equiv 0 при t < 0,

2. кусочно непрерывна,

3.\exists M > 0,\alpha : |f(t)|\leq Me^{\alpha t}, \forall t \geq 0



Определение.

Пусть f(t) оригинал. Преобразованием Лапласа f(t) называется функция комплексной переменной

F(p)=\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\cdot f(t)dt,~~~~Re p > \alpha

Связь между оригиналом и его преобразованием Лапласа будем обозначать так:

f(t)\risingdotseq F(p),~~~~~~F(p)\risingdotseq f(t), Re p > \alpha

Свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности

Пусть f_1(t)\risingdotseq F_1(p), f_2(t)\risingdotseq  F_2(p). Тогда для любых комплексных чисел C1,C2:

f(t)=C_1f_1(t)+C_2f_2(t)\risingdotseq C_1F_1(p)+C_2F_2(t)=F(t)

2. Дифференцирование оригинала.

f'(t)\risingdotseq pF(p)-f(+0)

3. Свойство единственности оригинала. Оригинал f(t) однозначно определяется по его преобразованию Лапласа F(p) во всех точках, где функция f(t) дифференцируема.


Рассмотрим применение преобразование Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.


Пусть задано уравнение

L(D)y(t)=(D^n+a_1D^{n-1}+...+a_n)y(t)=f(t),~~~~~t \leq 0

и начальное условие

y( + 0) = y0,y'( + 0) = y1,...,y(n − 1) = yn − 1


Пусть f(t)\risingdotseq F(t), y(t)\risingdotseq Y(p) , M(p) = pn − 1y0 + ....pyn − 2 + yn − 1 + a1(pn − 2y0 + .... + yn − 2) + ... + an − 1a0

Тогда преобразовав правую и левую часть получаем

L(p)Y(p) − M(p) = F(p)

и Y(p)=\frac{F(p)+M(p)}{L(p)}~~~Re p > \hat\alpha


Система Orphus

Комментарии