Минимальное свойство коэффициентов Фурье по ортогональной системе.

Свойства частичной суммы разложения

1) $S n (e k) = e k$

2) $S n (T n) = T n$ , если $T_n=\sum_{k=1}^{n}c_ke_k$

3) $(x - S n (x), e k) = 0$ при $1\leqslant k \leqslant n$

4) $| | x | | 2 = | | x - S n (x) | | 2 + | | S n (x) | | 2$

Теорема

$\min_{c_1,...,c_n}\left \| x-\sum_{k=1}^{n}c_ke_k \right \|=\|x-S_n(x)\|$

Доказательство

Пусть $\sum_{k=1}^{n}c_ke_k=T_n$ . C помощью свойства 4) получаем

$\|x-T_n\|^2=\|(x-T_n)-S_n(x-T_n)\|^2+\|S_n(x-T_n)\|^2$

и с помощью свойства 2)

$=\|x-S_n(x)\|^2+\|S_n(x)-T_n\|^2\geqslant \|x-S_n(x)\|^2$

Операция "Раздолбай"