Система Orphus

Теорема Римана об осцилляции

Функция f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале (a,b).Тогда

\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos(\lambda x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f(x)\sin(\lambda x)dx=0.


(*)Будем считать (a,b)=(-\infty,\infty). Функция f является непрерывной по сдвигу в среднем, т.е.

\int_{-\infty}^{\infty}|f(x+h)-f(x)|dx\rightarrow 0 при h\rightarrow 0.

Заменим в начальном интеграле x на x+\frac{\pi}{\lambda}, получаем

I(\lambda)\colon=\int f(x+\frac{\pi}{\lambda})\cos(\lambda x+\pi)dx=-\int f(x+\frac{\pi}{\lambda})\cos(\lambda x)dx=-\frac{1}{2}\int\left [ f(x+\frac{\pi}{\lambda})-f(x) \right ]\cos(\lambda x)dx

в силу (*) получаем утверждение теоремы.


Система Orphus

Комментарии