Система Orphus

Система Orphus

Минимальное свойство коэффициентов Фурье по ортогональной системе.

Свойства частичной суммы разложения

1)Sn(ek) = ek

2)Sn(Tn) = Tn, если T_n=\sum_{k=1}^{n}c_ke_k

3)(xSn(x),ek) = 0 при 1\leqslant k \leqslant n

4) | | x | | 2 = | | xSn(x) | | 2 + | | Sn(x) | | 2

Теорема

\min_{c_1,...,c_n}\left \| x-\sum_{k=1}^{n}c_ke_k \right \|=\|x-S_n(x)\|

Доказательство

Пусть \sum_{k=1}^{n}c_ke_k=T_n. C помощью свойства 4) получаем

\|x-T_n\|^2=\|(x-T_n)-S_n(x-T_n)\|^2+\|S_n(x-T_n)\|^2

и с помощью свойства 2)

=\|x-S_n(x)\|^2+\|S_n(x)-T_n\|^2\geqslant \|x-S_n(x)\|^2

Система Orphus

Комментарии