Система Orphus

Система Orphus

12)Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграллов зависящих от параметра.

Критерий Коши

Для того чтобы несобственный интеграл сходился равномерно на Y, необходимо и достаточно выполнения условия Коши:

\mathcal{8} \varepsilon > 0~~ \mathcal{9}\eta \in [a,b) : \sup_{y \in Y}\left|\int_{\eta'}^{\eta''}f(x,y)dx\right|  < \varepsilon~~~\mathcal{8} \eta', \eta'' \in [\eta_\varepsilon,b)


Необходимость Доказательство

\left|\int_{\eta'}^{\eta''}f(x,y)dx\right|=\left|\int_{\eta'}^{b}f(x,y)dx-\int_{\eta''}^bf(x,y)dx\right|\leqslant \left|\int_{\eta'}^{b}f(x,y)dx\right|+\left|\int_{\eta''}^bf(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon


Достаточность Доказательство просто и непринужденно при предельном переходе \eta'' \to b-0 в неравенстве \left|\int_{\eta'}^{\eta''}f(x,y)dx\right|  < \varepsilon



Признак Вейерштрасса, равномерной сходимости несобственного интеграла

f: [a,b)\times Y\to \mathbb{R},~~~\phi: [a,b)\to \mathbb{R},
|f(x,y)|\leqslant \phi(x) при (x,y)\in [a,b)\times Y

Пусть несобственный интеграл \int_{a}^{b}\phi(x)dx сходится. Тогда несобственный интеграл \int_{a}^{b}f(x,y)dx сходится равномерно на Y.

Доказательство тривиально.


Система Orphus

Комментарии