Система Orphus

Система Orphus

13)Непрерывность и интегрируемость несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Непрерывность

Пусть функция f непрерывна на [a,b)\times \Pi, где \Pi=[c_1,d_1]\times....\times[c_m,d_m], и интеграл

I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx,~~~y\in\Pi,

сходится равномерно на Π.

Тогда I(y) непрерывен на Π .


Пусть \varepsilon > 0 и \eta_\varepsilon\in [a,b) таково, что

\sup_{\Pi}\left|\int_{\eta_\varepsilon}^{b}f(x,y)dx\right| < \varepsilon

пусть y\in\Pi, y+\Delta y\in \Pi. Тогда

|I(y+\Delta y)-I(y)|\leqslant \int_{a}^{\eta_\varepsilon}|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)|dx+\left|\int_{\eta_\varepsilon}^{b}f(x,y+\Delta y)dx\right|+\left|\int_{\eta_\varepsilon}^{b}f(x,y)dx\right|\leqslant \leqslant(\eta_\varepsilon-a)\omega(|\Delta y|,f,\Pi)+\varepsilon+\varepsilon\leqslant 3\varepsilon


Интегрируемость

Пусть функция f непрерывна на [a,b)\times [c,d] и интеграл

I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx,~~~y\in [c,d],

сходиться равномерно на [c,d].

Тогда справедливо равенство1

\int_{c}^{d}I(y)dy=\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy~~~(1)

Доказательство

В силу непрерывности функции f на [a,\eta]\times[c,d] при a < η < b

\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{\eta}f(x,y)dx=\int_{a}^{\eta}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy~~~~(2)

Перейдем в этом равенстве к пределу при \eta \to b-0. Левая часть (2) имеет конечный предел

\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{\eta}f(x,y)dx=\int_{c}^{d}I(y)dy

-интеграл от непрерывной на [c,d] в силу теоремы о непрерывности функции.

В самом деле,

\left|\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy-\int_{c}^{d}\int_{a}^{\eta}f(x,y)dxdy\right|\leqslant(d - c)\sup_{y\in[c,d]}\left|\int_{\eta}^{b}f(x,y)dx\right|\to 0 при \eta \to b-0.


Следовательно, и правая часть (2) имеет конечный предел, который по определению несобственного интеграла есть правая часть (1). Переходя в равенстве (2) к пределу при \eta \to b-0, получаем равенство (1).


Система Orphus

Комментарии